Искусство, наука и золотое сечение

 

Уже во времена глубокой древности творения человека были связаны с золотым сечением [30]. При археологических раскопках палеолитической стоянки на р. Ангаре (20-25 лет до н.э.) была обнаружена тщательно обработанная прямоугольная пластинка, изготовленная из бивня мамонта; ее размеры с точностью до 1 мм соответствуют прямоугольнику золотого сечения. В пещерах Франции и наскальных изображениях эпохи палеолита и более позднего периода золотая пропорция проявляется в размерах и членениях бизонов, мамонтов и лошадей. В наскальных рисунках возле с. Шишкино на р. Лена, относящихся также к эпохе палеолита, обнаружены изображения диких коней и козла, размеры которых подчиняются пропорции золотого сечения. Известно [151], что многие древнеегипетские архитектурные памятники построены на основе пропорции золотого сечения и чисел Фибоначчи (пирамида Хеопса и др.). С числами Фибоначчи 55, 89, 144 связаны не только внешние пропорции пирамид, но и внутренние - зал фараона (пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина). Золотая или божественная пропорция, являясь чисто математическим соотношением, получила широкое применение в творениях скульпторов и архитектуре Древней Греции. У древних греков все сколько-нибудь крупные архитектурные сооружения (храмы, стадионы, амфитеатры) были построены таким образом, что в них многообразно представлена золотая пропорция. Фригийские гробницы и античный Парфенон, театр в Эпидавре и театр Диониса в Афинах - яркие образцы ваяния и зодчества, исполненные глубокой гармонии на основе золотого сечения. Закон золотого сечения» широко использовался древними греками в архитектурных памятниках (Парфенон), в скульптурах Фидия (5 в. до н. э.), Поликлета (5 в. до н. э.), Мирона (5 в. до н. э.), Праксителя (4 в. до н. э.). «Ничего сверх меры» –этот тезис стал руководящим, центрирующим, собирательным во всех видах творческой деятельности греков. По современному представлению, «…в науке и искусстве Древней Греции «закон золотого сечения» был возведен в ранг главного научного принципа, который охватывал весь Космос и всю науку и искусство в целом» [163]. К этому следует добавить, если в Древнем Египте закон золотого деления использовался «от случая к случаю», то в Древней Греции - постоянно.

В средние века интерес к золотому сечению пропал, свойства этой пропорции были практически забыты. Интерес к «божественному сечению» резко возрос в эпоху Возрождения. Вспомним в связи с этим, что «…эпоха Возрожденья, проложившая широкую дорогу новоевропейской науке, началась с возвращения к забытым проблемам гармонии» [81]. Именно в это время появляется первая книга, полностью посвященная золотому сечению. Книга под названием «Божественная пропорция» (Divine Proportione) была опубликована в 1509 г. известным ученым монахом францисканского ордена Лукой Пачоли ди Борго (1445-1517). В этой книге излагались 12 различных свойств гармонической пропорции. Характеризуя эти свойства, Пачолли пользовался весьма сильными эпитетами: «исключительное», «превосходное», «замечательное», «почти сверхъестественное» и т.д. Раскрывая золотую пропорцию в качестве универсального отношения и в природе, и в искусстве как совершенство красоты, он называл ее «божественной» и склонен был ее рассматривать как «орудие мышления», «эстетический закон», как «принцип мира и природы». Эта книга сопровождалась прекрасными иллюстрациями Леонардо да Винчи, который «закрепил» за золотой пропорцией обозначение «золотое сечение» (sectio aurea). Художник выполнил рисунок, в котором показано, что размах вытянутых в стороны рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и круг. (Интересно, что в этом рисунке Д. Мельхидесеком [106] выявлено золотое соотношение между кругом и квадратом; в эти фигуры вписано тело человека.) Этот рисунок получил название «Витрувийский человек» по имени древнеримского архитектора Витрувия (1 в. до н. э). Л. да Винчи, который безусловно разделял взгляды Пачоли на выдающуюся роль золотого сечения в эстетике и математике. Вслед за Л. Пачоли величайший ученый Средневековья И. Кеплер не менее восторженно говорит о золотом сечении, называя его божественным сечением (sectio divina). Он считал, что «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении....Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень» [по 272, p. 23]. Он же писал: «Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые Бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики» [79]. Имеются свидетельства, что И. Кеплер одним из первых обратил внимание на проявления золотого сечения в ботанике. По мнению Э.М. Сороко, «Теория измерения гармонии по принципу деления в среднем и крайнем отношении…составила тот фундамент, ту стартовую площадку, на которой впоследствии были воздвигнуты и получили движение концепции гармонии в новоевропейской науке и эстетике» [151, с. 76]. Отметим, золотое сечение чрезвычайно широко представлено в произведениях художников и зодчих эпохи Ренессанса. В произведениях Браманте (1444-1514), Л. да Винчи (1452-1519), Рафаэля (1483-1520), Тициана (1477-1576), Микельанджело (1475-1564) и других проявляется строгая размерность и гармоничность сюжета, подчиняющаяся золотому сечению. Знаменитые итальянские мастера Амати (1596-1684), Страдивари (1644-1737) и др. применяли геометрию пентаграммы и золотое сечение в очертаниях своих скрипок. Шедеврами древнерусской архитектуры являются церковь Покрова на Нерли (12 в.), собор Василия Блаженного (16 в.), церковь Вознесения села Коломенское под Москвой (16 в.) и др. [30]. В формах этих сооружений также использованы элементы золотого сечения. После эпохи Ренессанса интерес к золотому сечению на значительное время прервался; в течение более 200 лет эта пропорция была предана забвению. Лишь в 19 веке к золотому сечению и Платоновым телам вновь проявляется определенный интерес, прежде всего в математике. У истоков этого направления стояли два французских математика Ф. Люка и Ж. Бине. Исследования Люка и Бине не были связаны с какими-либо приложениями в теоретическом естествознании. Однако они сыграли большую роль в развитии этого направления в 20 веке.

Интересные исследования об использовании золотой пропорции в шедеврах музыки, живописи и поэзии были проведены в России и СССР Э.К. Розеновым [132], Л. Сабанеевым [138], Г.В. Церетели [204], М.А. Марутаевым [105], Н.А. Васютинским [30]. Выдающийся советский режиссер С.М. Эйзенштейн [221] занимался исследованием золотого сечения в кино. Он сознательно использовал золотое сечение при структурном построении фильма «Броненосец Потемкин», а также при формировании отдельных кульминационных кадров фильма. Большое количество исследований посвящено проявлению золотого сечения в шедеврах древних зодчих и в современной архитектуре [136]. А.Б. Рыбаков показал, что во многих архитектурных шедеврах древности золотое сечение проявляется по антропологическим признакам, т.к. золотая пропорция четко прослеживается в членении тела человека. Интересно отметить, что была установлена связь старинных мер длины (локоть, ступня, различные сажени и т.д.) с золотым сечением [40]. Выдающийся французский архитектор Ле Корбюзье [99] положил золотое сечение в основу своей теории гармонизации в строительстве, известную под названием система «Модулор». В этой системе Ле Корбюзье объединил существующие представления о пропорциях человеческого тела с отношением золотой пропорции.

Во второй половине 19 и первой половине 20 века появились публикации, в которых золотое сечение впервые было установлено во многих закономерностях биологических объектов. Среди них видное место занимают труды немецкого ученого А. Цейзинга [359, 360]. Цейзинг рассматривал золотое сечение как основной морфологический закон в природе и искусстве. Он показал, что этот закон проявляется в пропорциях тела человека, красивых животных и частей растения. Эстетико-математическая система Цейзинга, по мнению А.В. Волошинова [40], «может быть сведена к трем основным положениям: золотое сечение господствует в искусстве; золотое сечение господствует в природе; золотое сечение господствует в искусстве потому, что оно господствует в природе». Г.Т. Фехнером [249] была установлена связь между психофизическим восприятием человека и «золотыми» формами предметов. Т. Кук [44] уделяет большое внимание изучению роли логарифмической спирали в растительных и животных объектах. Им установлено, что феномен роста в биологических объектах связан со спиралями золотого сечения. О значении золотой пропорции в природе и искусстве пишут Г. Тимеринг [168], Г.Д. Грим [52] и М. Гика [44], которые приводят многочисленные примеры проявлений золотого сечения в явлениях природы и различных прикладных искусствах. В 20-х годах прошлого столетия к золотому сечению обращается выдающийся русский ученый и богослов П. Флоренский (1882-1937). В работах Флоренского впервые «золотая» парадигма древних греков рассматривается применительно к естествознанию, а его представления о золотом сечении стали прологом к новым современным открытиям в области квантовой физики, кристаллографии, химии, генетики, которые продемонстрировали фундаментальную роль в современном естествознании. Золотая пропорция становится своего рода «визитной карточкой» красоты и гармонии. В частности, отношение золотого сечения придается форматам книг, бумажникам, шкатулкам и множеству других предметов быта. Закон золотого сечения представлен в музыке, архитектуре, живописи, литературе [30]. Таким образом, золотое сечение – это структурно-математическая характеристика, которая определяет форму прекрасного независимо от того содержания, которое несет в себе форма.

После некоторого ослабления внимания к золотому сечению в первой половине 20 столетия во второй его половине резко возрос интерес к этой пропорции со стороны многих ученых в различных отраслях знаний. Большое влияние на развитие теории чисел Фибоначчи оказали работы советского математика Н.Н. Воробьева [42], впервые опубликованные в 1961 году, и американского математика В. Хоггата в 1969 [265]. Н.Н. Воробьев показал связь золотого сечения с теорией возвратных рядов, комбинаторной математикой, теорией чисел, геометрией, теорией поисков. В. Хоггат установил взаимосвязь между числами Фибоначчи и Люка. В это же время опубликованы замечательные книги А.П. Стахова [153-155]. В этих книгах автором разработаны основы Математики Гармонии - нового направления в математической науке. В СССР публикуется ряд работ, относящихся к разнообразным областям науки: поиску экстремумов унимодальных функций [175], математическом описании принципов оптимизации живых систем [23], организации Солнечной системы [27], лечению некоторых заболеваний человека [57, 145; 166], в экономике [31] и др. В 1963 году математиками Вернером Хоггатом и Братом Альфредом Бруссо была основана Американская Фибоначчи-ассоциация. Это математическая организация, которая специализируется в исследовании последовательности чисел Фибоначчи и широкого спектра смежных вопросов. Начиная с года своего основания, Фибоначчи-ассоциация публикует Международный математический журнал «The Fibonacci Quarterly».

Большой объем исследований по проблеме золотого сечения в СССР и странах СНГ приходится на последнюю четверть 20 и начало 21 века (этот феномен А.П. Стахов обозначил как «славянский взрыв»). В эти годы появились крупные работы в различных отраслях знаний, где золотая пропорция и ее закономерности использованы как своеобразный методологический принцип, лежащий в основе анализа технических и природных систем, их структурной гармонии. Ниже представлены наиболее значительные достижения в этом направлении.

А.П. Стаховым [153, 155] разработана арифметика Фибоначчи, которая была положена в основу компьютеров Фибоначчи. А.П. Стахов и И.С. Ткаченко [156] открыли новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка. В отличие от классических гиперболических функций, основанных на числе е, гиперболические функции Фибоначчи и Люка основываются на золотом сечении. Главная особенность этих функций состоит в том, что они реально существуют в живой природе, что доказано украинским ученым О.Я. Боднаром [20, 21].

Значительный интерес к золотому сечению и его структурным особенностям был проявлен в философской науке. Белорусский философ Э.М. Сороко [151] выявил фундаментальный характер р-чисел Фибоначчи и золотых р-пропорций, выражающих неизвестные ранее математические свойства треугольника Паскаля. Сороко показал большую роль, которую золотые р-пропорции могут сыграть в процессах самоорганизации систем. Гармоничным (устойчивым, стационарным) состояниям систем объективного мира, по мнению Сороко, соответствуют особые числа, называемые обобщенными золотыми сечениями.

М.А. Марутаев [105] открыл еще одну связь золотого числа Ф=1,618 с симметрией. Это открытие ему удалось сделать благодаря развитой им оригинальной теории качественной симметрии чисел. М.А. Марутаевым на основе качественной симметрии была показана связь числа Ф с числом b=137. Отметим, что число 137 выводится из фундаментальных констант природы - заряда электрона (q), постоянной Планка (ħ) и скорости света (c). Безразмерное число 137 связано с целостностью мироздания, поскольку является отношением фундаментальных констант.

О.Б. Балакшиным [9] получены новые результаты по применению принципов гармонии, симметрии и золотого сечения к проблеме саморазвития динамики подобных систем. Им установлено, что среди немногих по количеству обобщенных вариантов систем особое место занимает золотая пропорция («золотые траектории развития систем»).

Н.Ф. Семенюта [144]) внес значительный вклад в теорию электрических цепей. Благодаря введению понятия лестничных чисел исследователь показал, что числа Фибоначчи являются частным случаем «лестничных» чисел.

С.А. Ясинский [225] провел комплекс исследований в области приложения золотого сечения к электросвязи.

В.В. Очинский [115] исследовал музыкальную гамму с позиций золотого сечения, привнеся принципиально новый взгляд на эту проблему.

А.С. Харитоновым [186] предлагается новая парадигма природы, человека и общества, основанная на золотом сечении.

А.И. Иванус [73] разработал идеи гармоничного менеджемента «по Фибоначчи и золотому сечению».

Н.А. Шило и А.В. Динковым [213]) представлены факты, указывающие на связь Периодической системы Д.И. Менделеева с золотыми числами.

Украинский исследователь С.И. Якушко [224] установил «фибоначчиеву» закономерность в Периодической системе Д.И. Менделеева.

В монографии Яна Гржедзельского «Энерго-геометрический код природы» [262] золотая пропорция рассматривается как пропорция термодинамического равновесия самоорганизующихся систем. Автор показал роль золотой пропорции как универсального кода природы на всех уровнях ее организации.

Открытие квазикристаллов [51] и фуллеренов [60] - выдающиеся достижения современной науки за последние 25 лет - связаны с золотым сечением и числами ряда Фибоначчи:. За открытие фуллеренов, обладающих рядом специфических физических и химических свойств, Р. Керл, Х. Крото и Р. Смолли в 1996 г. были удостоены Нобелевской премии по химии. В 2011 г. Д. Шехтману была присуждена Нобелевская премия по химии за создание квазикристаллов «икосаэдрической» или «пентагональной» симметрии.

Особо следует отметить выдающиеся публикации в первом десятилетии 21 века.

Важнейшим вкладом в Математику Гармонии является публикация на английском языке книги А.П. Стахова «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science» [333]. Книга представляет не только обзор выдающихся достижений автора в течение 40 лет, но также и вклад других ученых-фибоначчистов в этой области математики.

Известный американский философ Скотт Олсен опубликовал уникальную книгу «The golden section. Nature`s greatest secret» [303]. В книге представлено много оригинальных идей в области золотого сечения и его приложений.

Большой интерес представляет статья на английском языке основателя и президента Международного междисциплинарного общества изучения симметрии (ISIS-symmetry) проф. Денеша Надя [298]. Историческое значение этой статьи состоит в том, что в ней впервые представлена обстоятельная история развития «золотосеченного» направления в России, СССР и постсоветском пространстве, начиная с 19 века и до настоящего времени.

Необходимо перечислить наиболее крупные теоретические и экспериментальные исследования, отнесенные к присутствию золотого сечения в живых системах.

В.Г. Бочков [23] предложил способ нахождения оптимальных состояний любой функциональной физиологической системы по данному измеримому (шкалированному) ее параметру. В частности, он приводит убедительные аргументы тому, что температурный режим млекопитающих, в том числе и человека, явление не случайное, а обусловлено минимумом теплоемкости воды, достигаемым в диапазоне 30 – 40^оС. Этот минимум своей связью с (1/Ф²) объясняет факт устойчивости водной основы земной жизни – структур биоорганизмов.

О.Я. Боднар [20, 21] установил закон преобразования спиральных симметрий, раскрывающий механизм роста и формирования в живой природе. Рост филлотаксисных форм сопровождается изменением симметрии пересекающихся спиралей, количество которых выражается парами чисел - 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13 и т.д. Последовательная смена порядка спиральной симметрии характеризуется гиперболическим поворотом. «Геометрия Боднара» раскрывает механизм роста «филлотаксисных» объектов. В связи с этим заметим, что Г. Вейль рассматривал числовой закон филотаксиса как загадку живой природы. Он утверждал, что «современные ботаники относятся ко всему учению о филотаксисе менее серьезно, чем их предшественники» [32, с. 99].

Российский исследователь С.В. Петухов [118], анализируя связи между длинами в трехчленных блоках тела млекопитающих и человека, а также птиц, установил, что двойное отношение (вурф) в этих блоках приблизительно равно 1,309. Это число, связанное с числом 1,618, является инвариантом по отношению к конформным преобразованиям трехчленных объектов. Петухов [119] предложил оригинальный взгляд на генетический код. Основная идея С.В. Петухова состоит в том, чтобы представить генетические полиплеты в матричном виде. Открытие Петухова показывает глубокую связь генетического кода с золотым сечением. Исследования Петухова показывают фундаментальную роль, которую играет золотое сечение в генетическом кодировании.

А.В. Жирмунский и В.И. Кузьмин [63a] анализируя критические уровни в развитии биологических систем (зачатие, рождение, половая зрелость, смерть), установили, что отношение некоторых важнейших параметров на соседних уровнях характеризуется числом e^е =15,15... C точки зрения преобразований качественной симметрии здесь имеет место золотое сечение [105]. Число e^е является инвариантом преобразований важнейших параметров в процессе развития организма.

В.И. Коробко [89, 90] обнаружил взаимосвязь некоторых интегральных физико-механических характеристик твердого деформируемого тела с золотым сечением. Коробко установлены многочисленные, ранее неизвестные проявления золотой пропорции в деятельности организма человека: его физиологических ритмах, эргономических параметрах «вхождения» в окружающую среду.

М.С. Радюк [126] установил проявления золотой пропорции при изучении скорости осаждения хлоропластов при денатурации гемогената высших растений.

И.Н. Степанов [165] обнаружил многочисленные проявления золотого сечения и чисел Фибоначчи в структуре почвенного покрова, вещественного состава почв и их продуктивности.

И.А. Рыбин [137] в статье «Психофизика: поиск новых подходов» на основании экспериментальных данных показал, что число Ф=1,618 - инвариант психофизических законов, описывающих сенсорные восприятия человека.

П.Ф. Шапоренко и В.А. Лужецкий [209] провели огромное количество измерений скелетов человека и других животных, в том числе и ископаемых, прослеживая эволюционные изменения основных скелетообразующих элементов. Они показали, что гармоническая соразмерность частей тела человека связана с обобщенными золотыми p-пропорциями.

В.Д. Цветков [193, 194] показал, что деятельность сердца в решающей степени связана с золотым сечением и числами Фибоначчи. Вследствие этого сердце работает с минимальными затратами энергии, крови, мышечной и сосудистой массы. Золотые отношения составляют основу законов композиции структур сердечного цикла; эти соотношения справедливы для различных видов млекопитающих.

А.А. Соколов и Я.А. Соколов [147] в статье «Математические закономерности электрических колебаний мозга», показали, что соотношение частот волн (ритмов) электрических колебаний мозга равно золотой пропорции.

А.Г. Волохонский [39] установил соответствие общей структуры генетического кода, ряда биноминального разложения 2 и икосаэдра.

Б.Н. Розин [133] показал, что в результате деления число клеток, возникающих от исходной клетки на каждом шаге деления, подчиняется «фибоначчиевой» закономерности: 1, 2, 3, 5, 8, 13,… .

А.И. Постолаки [122] установил закономерности золотого сечения и чисел Фибоначчи в зубочелюстной системе человека.

В.К. Варин [29] установил соотношение, близкое к золотому сечению в слоистых структурах глаза и слизистой оболочке тонкой кишки.

Таким образом, установлено, что золотое сечение имеет широкое распространение в животном и растительном мире. Представленные выше открытия являются достаточно убедительным подтверждением того факта, что биология приближается к раскрытию одного из сложнейших научных понятий живой природы – понятия гармонии. Можно добавить к этому, в человеке – совершеннейшем творении Природы – пропорция золотого сечения к настоящему времени установлена на самых различных уровнях. Золотое сечение выявлено в работе мозга и сердца, строении глаз и ушей, зубочелюстной системы, параметрах обоняния и вкуса, субклеточных структурах, пропорциях частей лица, рук, ног, других составляющих организма.