Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2022-12-20 | 43 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Закрепленной на концах
Метод Фурье (метод разделения переменных) является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Подробное изложение метода проведем для задачи о свободных колебаниях струны, концы которой закреплены.
Задача сводится к решению однородного уравнения
(1)
при начальных условиях
(2)
и краевых условиях
(3)
Метод разделения переменных (метод Фурье) состоит в том, что сначала решается основная вспомогательная задача. А именно, разыскиваются нетривиальные решения однородного уравнения (1), удовлетворяющие однородным краевым условиям (3), в виде
(4)
Дифференцируем функцию (4) дважды по и по :
и подставляем эти производные в уравнение(1):
Переменные разделяются:
(5)
Так как функция (4) – предполагаемое решение уравнения (1), равенство (5) должно выполняться тождественно в области . Но правая часть равенства (5) не зависит от , а левая – от , поэтому в обеих частях равенства (5) должна быть постоянная величина, которую обозначим .
(6)
Отсюда следует, что функции и суть решения обыкновенных дифференциальных уравнений:
Займемся сначала функцией . Из граничных условий (3) и представления (4) следует: для всех .
Так как (ищем нетривиальные решения!), то должно быть и . Получили к краевую задачу для функции :
(7)
(8)
|
Пришли к задаче Штурма – Лиувилля: требуется найти такие значения параметра (собственные значения), при которых задача (7) – (8) имеет нетривиальные решения, и найти эти решения (собственные функции).
Выше (см. замечание к задаче 1 п.1) было показано, что вместо постоянной можно взять . В той же задача 1 были найдены собственные значения и собственные функции
Как и должно быть, полученные собственные функции ортогональны на , то есть
при
Теперь следует отыскать функцию . Функция , соответствующая собственному значению , удовлетворяет уравнению
общее решение которого имеет вид:
Подставляя найденные функции и в формулу (4), получим множество решений уравнения (1), удовлетворяющих краевым условиям (3):
(9)
Здесь введены обозначения
Решения (9) называются собственными функциями задачи (1), (3); соответствующие им колебания струны – собственными колебаниями.
Переходим к заключительной части метода Фурье: при помощи собственных функций (9) построить решение, удовлетворяющее начальным условиям (2). Для этого составим ряд:
(10)
Осталось подобрать произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворить начальным условиям (2). При из соотношения (10) легко получить
(11)
Для второго начального условия дифференцируем ряд (10) по :
и подставляем :
(12)
Формулы (11) и (12) означают, что числа и являются коэффициентами разложения начальных функций и в ряд Фурье по синусам на отрезке , то есть
(13)
Таким образом, при реализации метода Фурье для задачи (1), (2), (3) надо разложить начальные данные и в ряд Фурье по синусам на .
Подставив найденные , , в ряд (10), получим формально решение задачи. Для того чтобы сумма ряда (10) была решением задачи (1), (2), (3), функции и должны быть такими, чтобы ряд (10) сходился равномерно в и его можно было почленно дифференцировать дважды по и дважды по в .
|
Задача 1. Однородная струна длиной натянута между точками и . Начальная форма струны задается функцией , начальная скорость равна нулю. Определить отклонение . Внешние силы отсутствуют.
Решение. Требуется решать задачу о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах. Начальное отклонение задано, начальная скорость равна нулю:
Так как по условию начальная скорость равна нулю, в формуле (10), дающей решение задачи, следует положить . Тогда
(*)
Остаётся в соответствии с (13) найти – коэффициенты Фурье начальной функции :
При все коэффициенты в силу ортогональности собственных функций – из коэффициентов отличен от нуля только . Это естественно, так как начальное положение струны совпадает с графиком одной из собственных функций, а именно .
Можно получить этот результат и из других соображений. Запишем подробнее разложение начальной функции в ряд Фурье по и приравняем заданной функции :
В силу единственности разложения в ряд Фурье отсюда следует, что
, то есть , .
Таким образом, из ряда (*) остается только одно слагаемое
Легко убедиться, что найденная функция удовлетворяет и уравнению, и начальным, и граничным условиям.
Решение можно записать в виде где обозначено это амплитуда колебаний, зависящая от абсциссы точки струны. Все точки струны совершают гармонические колебания с одной и той же частотой При этом точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения и одновременно проходят положение равновесия. Такие колебания струны называются стоячими волнами. ●
Физическая интерпретация
Группу слагаемых из правой части формулы (10) преобразуем к виду .
Здесь обозначено , .
Теперь решение задачи (1)-(2)-(3) можно записать в виде
,
где каждое слагаемое представляет собой стоячую волну, при которой точка струны совершает колебания с амплитудой , частотой и фазой .
При колебании струна издает звук, высота которого зависит от частоты колебаний, частота самого низкого – основного тона – определяется соотношением . Более высоким частотам соответствуют обертоны. Если, как в рассмотренной задаче, все частоты кратны основной частоте ( и
|
т.д.), то колебания называются гармоническими. Первый тон называется первой гармоникой и т.д. Решение складывается из отдельных гармоник. Их амплитуды – и влияние на звук – быстро убывают с увеличением номера. Поэтому действие последующих гармоник сводится к созданию тембра звука.
На рисунках показаны первые четыре гармоники.
Точки , где амплитуда равна нулю, называются узлами ой гармоники. У первой гармоники 2 узла, совпадающие с концами струны, у второй – три узла, у третьей – четыре и т.д.
Точки, где амплитуда достигает наибольшего значения (то есть ), называются пучностями ой гармоники:
У первой гармоники одна пучность – в центре струны, у второй – две и т.д.
Если прижать звучащую струну точно в середине – в пучности основного тона, то обратятся в 0 амплитуды всех нечетных гармоник. Самой низкой окажется частота , то есть основным тоном станет звук с частотой .
Формула , определяющая частоту основного тона, объясняет известные из экспериментов законы звучания струны.
1. При заданных и частота обратно пропорциональна длине струны.
2. При заданных длине и линейной плотности струны частота меняется прямо пропорционально корню квадратному из натяжения .
3. При заданных и частота меняется обратно пропорционально корню квадратному из линейной плотности струны.
Задача 2. Однородная струна длиной натянута между двумя точками и . В точке струна оттягивается на небольшое расстояние от положения равновесия и в момент отпускается без начальной скорости. Определить отклонение струны для любого момента времени.
Решение. В начальный момент времени струна занимает положение, изображенное на рисунке. Необходимо описать положение струны в любой момент времени . Прежде всего запишем аналитическое представление для начального профиля струны. Для имеем (уравнение прямой, проходящей через начало координат, угловой коэффициент ). Для можно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через точки и . Получаем .
|
Приходим к задаче:
Решение задачи даётся формулой (10)
(10)
Чтобы найти коэффициенты , , следует воспользоваться формулами (13).
Интегралы берутся по частям
Получаем
Так как начальная скорость отсутствует, коэффициенты .
Осталось подставить найденные значения и в формулу (10). Окончательно получаем:
●
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти колебания струны с закрепленными концами и , если посередине струна оттягивается от положения равновесия на высоту и в момент отпускается без начальной скорости.
Ответ:
2. Пусть в условиях задачи 2, решенной в этом разделе, начальная форма струны – парабола, симметричная относительно середины струны. Максимальное отклонение равно . Найти закон колебаний струны.
Указание. В уравнении параболы , пересекающей ось абсцисс в точках и , необходимо определить коэффициент , зная координаты вершины параболы . Получим аналитическое выражение для начального профиля струны .
Ответ:
Обратите внимание на тот факт, что амплитуда последовательных гармоник убывает быстрее, чем в задаче 1.
3. Пусть в начальном положении струна с закрепленными концами и находится в покое и точкам ее на участке придана постоянная скорость (этого можно добиться, ударяя по струне на этом участке плоским молоточком). Найти колебания струны. Исследовать частный случай , .
Указание. Функция представляется в виде:
Ответ:
В частности, при , получаем:
4. Для уравнения в полуполосе , найти решение при условиях
Ответ:
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!