Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2022-12-20 | 29 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Рассмотрим задачу о свободных колебаниях бесконечной струны при заданных начальных условиях (задачу Коши):
(1)
(2)
Приведем уравнение к каноническому виду. Уравнение характеристик распадается на два уравнения: и . Общие интегралы этих уравнений суть семейства прямых Вводим новые переменные и пересчитываем производные:
После подстановки в исходное уравнение и приведения подобных членов получаем канонический вид Интегрирование уравнение по при фиксированном даёт общий интеграл в виде . Здесь произвольная функция. Повторно интегрируем по при фиксированном :
.
Здесь и произвольные функции. Возвращаясь к старым переменным, получаем, что общим решением уравнения является функция
(3)
Вид функций и определяется из начальных условий
Подставим в общее решение (3) . В силу первого начального условия получаем
.
Чтобы воспользоваться вторым начальным условием, продифференцируем функцию по переменной :
В силу условия получаем
. .
Проинтегрируем полученное соотношение
Здесь фиксированное значение независимой переменной , произвольная постоянная.
Таким образом, вид произвольных функций определяется из системы уравнений
Осталось вспомнить, что у функции аргументом служит , а функция зависит от аргумента , и подставить найденные функции в представление
Замечая, что , получим окончательно
(4)
Формула носит название формулы Даламбера.
Задача 1. Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее условиям
Решение. Воспользуемся формулой Даламбера. У нас , тогда
.
Окончательно получаем
Легко проверить, что полученная функция действительно есть решение задачи Коши, т.е. удовлетворяет и уравнению, и начальным условиям. ●
Задача 2. Найти решение уравнения
(5)
удовлетворяющее начальным условиям
(6)
Решение. Составим уравнение характеристик
.
Оно распадается на два уравнения: и общие интегралы которых удобно записать в виде: . Вводим новые переменные и пересчитываем производные функции :
Уравнение приводится к каноническому виду Общее его решение, как показано выше, представляется в виде , где – произвольные функции. Значит, для исходного уравнения
(7)
Для определения функций следует использовать начальные условия.
При .
Замечание. Теперь очевидно преимущество записи , т.е. – при получаем . Если бы , то и при получили бы .
Дифференцируем функцию по
.
При : .
Из системы уравнений находим вид функций и :
, .
Осталось и подставить в общее решение . При этом следует помнить, что у функция зависит от аргумента , а у функции – от аргумента . Получаем:
.
Легко убедиться, что эта функция действительно есть решение задачи Коши, т.е. удовлетворяет и уравнению, и начальным условиям. ●
Задача 3. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Рассмотреть частный случай
Решение. Уравнение характеристик распадается на два уравнения: и . Общие интегралы удобнее записать в виде: . Новые переменные . Дифференцируем сложную функцию :
Уравнение в результате замены приводится к каноническому виду
Перепишем уравнение в виде и найдем его общее решение. Обозначим , тогда уравнение примет вид . Полагая фиксированным, проинтегрируем уравнение
.
Осталось при фиксированном проинтегрировать уравнение
.
Значит, общее решение можно записать в виде
где произвольные функции.
Возвращаясь к переменным , запишем общее решение уравнения в виде:
(*)
Найдем
(**)
Полагая в выражениях (*) и (**) и используя начальные условия, получаем систему для определения вида функций :
Дифференцируем первое уравнение:
и прибавляем к нему второе, записанное в виде
Получим что позволяет во втором уравнении системы два слагаемых в левой части заменить известными функциями:
В результате второе уравнение системы принимает вид
,
откуда определяем . Интегрируя, находим :
Из первого уравнения системы определяем функцию :
Остается подставить функции и с аргументами соответственно и в (*) и записать решение задачи Коши:
В частном случае при , решение принимает вид .
Непосредственной проверкой убеждаемся, что эта функция удовлетворяет и уравнению, и начальным условиям.●
Задача 4. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Здесь в (гиперболический тип в ). Составляем уравнение характеристик
Оно распадается на два: и . Находим общие интегралы:
После введения новых переменных и пересчета производных уравнение принимает вид
Найдем общее решение этого уравнения. Если введем обозначение то Уравнение интегрируем по при фиксированном .
, .
Затем фиксируем и интегрируем по :
Осталось вернуться к старым переменным и записать общее решение в виде:
Здесь – произвольные функции, определяемые из начальных условий.
Найдем :
Воспользуемся начальными условиями:
Для определения вида функций получили систему
из которой находим
Теперь решение задачи Коши запишется (следим за аргументами!) в виде:
После несложных преобразований получаем ответ:
●
Физическая интерпретация
А). Распространение волны отклонения
При нулевой начальной скорости из формулы Даламбера получаем
В этом случае колебания представляют собой процесс распространения начального отклонения .
Функция вида в физике называется распространяющейся волной – неизменный профиль перемещается вправо со скоростью . Аналогично функция представляет неизменный профиль , перемещающийся влево со скоростью .
Значит, решение представляет собой сумму двух полуволн: прямой, бегущей вправо со скоростью , и обратной, бегущей влево с той же скоростью. При этом начальная форма обеих волн определяется функцией – половиной начального отклонения .
Рассмотрим фазовую плоскость .
Линии суть характеристики. Функция сохраняет постоянное значение на характеристиках , а функция – на характеристиках .
Предположим, что начальное отклонение отлично от нуля только в промежутке , а вне этого промежутка равно нулю.
Характеристики и представляют собой передний и задний фронты прямой волны, а характеристики и – соответственно передний и задний фронты обратной волны. Эти характеристики разбивают фазовую плоскость на несколько областей. Через область проходит прямая (обратная) волна, а в области взаимодействуют обе волны. В область (и ) до некоторого момента времени еще не дошла прямая (обратная) волна; через область с некоторого момента волны уже прошли и наступил покой.
Б). Распространение волны импульса
При нулевом начальном отклонении колебания вызываются начальной скоростью (или импульсом) и решение задачи Коши можно представить в виде разности обратной и прямой волны:
Здесь – первообразная функции .
Например, пусть и тогда
Графики функций и приведены на рисунке.
Начальный импульс Функция – профиль волны
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!