Краевые и начальные условия.

Процесс поперечных колебаний струны описывается функцией  характеризующей в плоскости  вертикальное перемещение точки  струны в момент времени  Рассматриваются малые колебания струны как гибкой упругой нити.

Дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны имеет вид:

Здесь натяжение струны;  линейная плотность,  плотность внешних сил. В случае  уравнение записывают в  виде:

                                              (1)

где обозначено

Продольные колебания струн и стержней также описываются уравнением

Уравнение  имеет бесчисленное множество решений. Для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи.

Из динамики точки известно, что для определения закона движения нужно знать её начальное положение и начальную скорость. Для уравнения колебаний струны естественно задать в начальный момент времени  положение и скорость всех точек струны

                                                  (2)

Условия  называются начальными условиями.

Если струна ограничена, то нужно указать, что происходит на её концах. Например, если концы струны   закреплены, то

                                                       (3)

Условия вида  называются краевыми или граничными условиями.

Физическая задача о поперечных колебаниях закрепленной на концах струны свелась к математической задаче: в области  найти такое решение уравнения  которое удовлетворяет начальным условиям  и граничным условиям

Рассмотрим различные типы граничных условий.

Краевые условия первого типа. Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия имеют вид:

                                       (4)

Условия налагаются на функцию . При этом говорят, что задан режим на концах – это первый тип граничных условий. В частности, для закрепленного конца  (смещения нет). Таким образом, решить первую краевую задачу  для струны значит найти такое решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальным условиям (2) и граничным условиям (4).

Краевые условия второго типа. Граничные условия второго типа – на концах струны заданы силы:

,

Условия налагаются на производную . В частности, если , то конец струны  является свободным (направленное по касательной к струне натяжение параллельно оси ).

Краевые условия третьего типа. Граничные условия третьего типа (упругое закрепление концов струны):

На концах струны задается линейная комбинация функции  и её производной . Конец струны может перемещаться, но упругие силы закрепления вызывают натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение. Здесь ,  – модуль упругости (модуль Юнга),  – коэффициент, характеризующий жесткость закрепления правого () и левого () конца струны.

Смешанные краевые условия. На разных концах струны задаются условия различных типов.

Встречаются и более сложные типы граничных условий.

Если функции  заданные в правой части граничных условий, равны нулю, то граничные условия называются однородными.

Однородное уравнение

описывает свободные колебания струны (отсутствует внешняя сила). При наличии внешней силы колебания струны являются вынужденными ( уравнение (1) ).

Можно рассматривать колебания бесконечной струны, когда оба конца струны находятся бесконечно далеко. Это идеализация очень длинной струны подходит для случая, когда рассматриваются точки, расположенные далеко от обоих концов струны. Можно также рассматривать начальный промежуток времени, пока распространяющаяся волна не дошла до концов струны.

Модель полубесконечной струны (один из концов струны находится бесконечно далеко) подходит для точек, сравнительно близких к одному из концов.

В первом случае (бесконечная струна) граничные условия отсутствуют, а начальные функции  и   задаются для  

Во втором случае (полубесконечная струна) начальные функции  и  задаются для ,  а на конце  задается граничное условие. Например,  – левый конец струны закреплен.