Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2022-12-20 | 41 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задача Штурма – Лиувилля
А). Постановка задачи
Применение метода Фурье к решению задач математической физики (уравнений любого из трех типов) приводит к краевым задачам для обыкновенного линейного дифференциального однородного уравнения второго порядка, содержащего параметр. С нулевыми граничными условиями такие задачи, как правило, при любом значении параметра имеют тождественно равное нулю решение. Но при некоторых значениях параметра возможны и нетривиальные решения. В этих задачах требуется найти такие значения параметра, при которых существует отличное от нуля решение однородного уравнения, удовлетворяющее на концах отрезка однородным граничным условиям.
Сформулируем задачу Штурма-Лиувилля (Ш. – Л.):
Найти значения параметра при которых уравнение
(1)
имеет нетривиальные решения удовлетворяющие однородным краевым условиям
, (2)
и найти эти решения.
Б). Нахождение собственных значений и собственных функций.
Пусть выполнены условия регулярности: при Предполагается, что решение задачи Значение параметра при котором существует нетривиальное решение задачи Ш. – Л., называется собственным значением, а соответствующее нетривиальное решение собственной функцией.
При сделанных предположениях существует фундаментальная система решений , уравнения (1). Общее решение этого уравнения имеет вид
(3)
Здесь – произвольные постоянные. Так как нас интересуют только нетривиальные решения, то должно быть .
Подставим функцию (3) в краевые условия (2):
Получим алгебраическую линейную однородную систему относительно и :
|
(4)
Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:
(5)
Значит, те значения , при которых условия (2) будут выполняться, являются корнями уравнения (5). Иначе: корни этого уравнения суть собственные значения задачи Ш. – Л. (1) – (2). Если уравнение (1) записать в виде , то совокупность собственных значений – это спектр линейного оператора .
Пусть корень уравнения (5), тогда имеем ненулевое решение системы (4) , , свободное неизвестное. Соответствующие собственные функции определяем по формуле (3) при :
Собственные (спектральные) функции определены с точностью до постоянного множителя .
В) Свойства собственных значений и собственных функций.
Свойство 1. Краевая задача (1) – (2) имеет счетное множество собственных значений и все они вещественны. Если собственные значения рассматривать в порядке возрастания: , то .
Свойство 2. Все собственные значения задачи Штурма – Лиувилля (1) – (2) простые, то есть каждому собственному значению соответствует одна собственная функция.
Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на , то есть удовлетворяют равенству
.
Свойство 4. Если краевые условия таковы, что
,
то все собственные числа задачи (1) – (2) неотрицательны.
Свойство 5. (Теорема Стеклова). Пусть функция и удовлетворяет на концах отрезка условиям (2). Тогда разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся при ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи (1) – (2)
,
где коэффициенты Фурье, определяемые по формуле:
Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции задачи Ш. – Л.
,
, .
Решение. Ищем решение уравнения в виде . Запишем характеристическое уравнение: .
1. Пусть , тогда корни характеристического уравнения действительны и различны: . Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения имеет вид:
|
,
где и произвольные постоянные. Используя заданные краевые условия, получим систему для определения , :
Определитель этой системы Значит, система имеет единственное решение . Поэтому в случае данная задача собственных значений и собственных функций не имеет.
2. Пусть . Тогда оба корня характеристического уравнения равны нулю Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения – линейная функция . Подставляя краевые условия, получим , . Значит, не является собственным значением рассматриваемой задачи Ш. – Л.
3. Пусть . Корни характеристического уравнения мнимые: . Фундаментальная система решений , . Общее решение уравнения
.
Определим , из краевых условий. При (на левом конце) . При (на правом конце) получаем . Нас интересует нетривиальное решение, то есть , поэтому . Тогда должен быть равен нулю второй множитель
Итак, собственные значения, тогда решения собственные функции данной задачи Ш. – Л. ●
Замечание. Иногда в уравнении удобнее вместо брать . Тогдасобственные значения задачи 1 можно записать в виде
Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
1. Пусть , то есть . Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны. Общее решение уравнения имеет вид
Краевые условия приводят к системе для определения , :
Определитель этой системы
Тривиальное решение является единственным. Значит, задача в случае не имеет собственных значений и собственных функций.
2. Пусть . У характеристического уравнения кратные корни . Общее решение Из краевых условий получим систему
Отсюда , так как по условию . Значит, не является собственным значением.
3. Пусть , то есть . Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни Общее решение уравнения
Из краевых условий получаем
Случай дает тривиальное решение, то есть нас не интересует. Выясним, при каком значении может обращаться в нуль выражение в скобках
Приходим к уравнению
Обозначим , тогда уравнение для определения собственных значений запишется так:
Это трансцендентное уравнение, которое можно решить, например, графически. Обозначим последовательные положительные корни этого уравнения Тогда и , собственные значения, а , собственные функции этой задачи. ●
|
Задача 3. Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля:
Решение. Запишем характеристическое уравнение
1. Пусть Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны: Общее решение уравнения
Краевые условия приводят к системе
Определитель этой системы
Система имеет единственное решение , поэтому в случае задача Ш. – Л. не имеет собственных значений и собственных функций.
2. Пусть . Корни характеристического уравнения . Тогда
.
Из краевых условий находим , тогда решение имеет вид Таким образом, собственное значение, собственная функция рассматриваемой задачи Ш. – Л.
3. Пусть . Корни характеристического уравнения . Тогда
Вычислим значения производной на концах отрезка
Используя краевые условия, получим систему для и :
Определитель системы
Найдем те значения , при которых определитель равен нулю.
.
Собственные значения задачи . Подставляя найденные в первое (например) уравнение системы, находим
.
Из общего решения получаем собственные функции
Итак, рассматриваемая задача Ш. – Л. имеет собственные значения (подключили сюда ) и собственные функции
,
В частности, если , собственные значения и собственные функции выглядят так:
:
: ●
Задачи для самостоятельного решения
a)
b)
c)
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!