Сходимость приближенного решения к точному решению.

    Сходимость приближенного решения к точному означает, что

(1) ,

однако более информативным является оценка вида:

(2) .

    Предполагаем, что сетка уже построена и  определена в  и поставлена задача (3).

(3) , .

    Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1

    Пусть  и  точное решение задачи:

    В классической постановке:

(4)

    В обобщенной постановке:

(5) ,

(6) ,

   

    Тогда, если , то выполняется неравенство:

(7) , и не зависит от шага сетки.

Доказательство:

(8) .

    Идея доказательства эксплуатирует в первую очередь неравенство (8), где вместо  выбирается функция , являющаяся кусочно-линейным восполнением точного решения , т.е. , где - базис. Также используются неравенства (10), (11) и (12).

    Согласно леммам 1 и 2 §1 “Кусочно-линейные восполнения сеточных функций”, имеем:

(9) .

(10) .

    Справедливо:

    учитывая (9) и (10) получаем:

(11) .

    Напомним, неравенство (11) предыдущего параграфа:

(12)

Преобразуем левую часть полученного неравенства с учетом неравенства (12).

.

    Имеем:

(13) .

    , требуемая оценка (7) получена.

    Оценка (13) которая была компактно записана как (7) означает сходимость построенной схемы в среднем. Опираясь на нее, а также на неравенство (9), (10) предыдущего параграфа можно получить оценку для равномерной сходимости последовательности к . Справедливо следствие.

Следствие

    Последовательность приближенных решений сходится равномерно на отрезке  при , к точному решению с первым порядком, т.е. справедлива оценка:

 

Заключение по модулю

 

           Первый модуль учебника является основным для дальнейшего понимания курса. Показаны и исследованы методы аппроксимации непрерывных физических моделей конечно-разностными и конечно-элементными аналогами. Исследуется корректность операторных уравнений. Приводятся основные определения и теоремы.

При изложении материала данного модуля использовались  разделы  линейной алгебры, функционального анализа и математической физики.

 

Вопросы для самоконтроля

1) Понятие консервативной разностной схемы.

2) Понятие погрешности аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной схемы. Теорема Лакса- Филиппова.

3) Основные разностные тождества. Формулы разностного дифференцирования произведения. Разностные формулы Грина.

4) Свойства собственных чисел оператора разностной производной второго порядка.

5) Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Исследование устойчивости. Условие FCL для явных разностных схем.

6) Принцип максимума сеточных функций. Следствия.

7) Теорема сравнения. Мажоранта.

8) Определение корректно поставленной разностной модели.

9) Теорема о равномерной устойчивости двухслойных разностных схем. Основное энергетическое тождество.

10) Экономичные разностные схемы для нестационарных задач.

11) Понятие о методе конечных элементов.

1.10. Проектное задание

 

 

Упражнение 1.           Найдите решение краевой задачи:

 

,        с переменными коэффициентами

,     и граничными условиями

 

на основе решения задач Коши.

 

Упражнение 2.          Постройте схему четвертого порядка аппроксимации

 

для уравнения

 

, k(x)=1 на равномерной сетке

 

при использовании трехточечного шаблона.

 

Упражнение 3.     Сформулируйте условие устойчивости явной трехслойной

 схемы второго порядка аппроксимации по времени и пространству для задачи

 

u(x,t) = v₀ (x),

, .

 

Контрольная работа №1.

Вариант №1.

1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи   

 

,

г.у.

,  ,   

на равномерной сетке , где , .

 

2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы

, 

на равномерной сетке , при 1)  2) .

 

3*. Построить непрерывный аналог схемы

,

имеющей следующий порядок аппроксимации .

   Вариант №2.

1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи   

 

,

г.у.

 ,  ,   

на равномерной сетке , где , .

 

2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы

, 

на равномерной сетке , при 1)  2) .

 

3*. Найти условие применимости прогонки для решения разностной задачи

,

на равномерной сетке , где .

Вариант №3.

1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи   

 

,

г.у.

,  ,   

на равномерной сетке , где , .

 

2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы

,          

на равномерной сетке , при 1)  2) .

 

3*. Найти условие применимости прогонки для решения разностной задачи

,

на равномерной сетке , где .

Вариант №4.

1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи   

 

,

г.у.

,  ,   

на равномерной сетке , где ,.

2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы

,           

на равномерной сетке , при 1)  2) .

 

3*. Найти условие применимости прогонки для решения разностной задачи

,

на равномерной сетке , где .

 

Вариант №5.

1. Интегро-интерполяционным методом построить консервативную разностную схему для краевой задачи   

 

,

г.у.

      ,  ,   

на равномерной сетке , где , .

 

2. Методом гармоник исследовать устойчивость разностной схемы

,        

на равномерной сетке , при 1)  2) .

 

3*. Построить непрерывный аналог схемы

, ,

имеющей следующий порядок аппроксимации .

 Контрольная работа №2.

Вариант №1.

 

1. Оценить решение и найти условие устойчивости разностной схемы, используя принцип максимума и следствия из него.

 

2. Привести разностную схему к каноническому виду и исследовать устойчивость по начальным данным.

 

где ,  н.у. заданы, г.у. нулевые

 

3. Используя шаблон построить компактную разностную схему для уравнения , имеющую погрешность аппроксимации .

Вариант №2.

 

1. Оценить решение и найти условие устойчивости разностной схемы, используя принцип максимума и следствия из него.

 

2. Привести разностную схему к каноническому виду и исследовать устойчивость по начальным данным

где , , н.у. заданы, г.у. нулевые.

3. На шаблоне построить компактную разностную схему для уравнения , имеющую погрешность аппроксимации .

Вариант №3.

 

1. Оценить решение и найти условие устойчивости разностной схемы, используя принцип максимума и следствия из него.

 

2. Привести разностную схему к каноническому виду и исследовать устойчивость по начальным данным.

   

, н.у. заданы, г.у. нулевые

3. Используя шаблон построить компактную разностную схему для уравнения , имеющую погрешность аппроксимации .

 

Вариант №4.

 

1. Оценить решение и найти условие устойчивости разностной схемы, используя принцип максимума и следствия из него.

 

2. Привести разностную схему к каноническому виду и исследовать устойчивость по начальным данным

где , , н.у. заданы, г.у. нулевые.

3. Используя шаблон построить компактную разностную схему для уравнения , имеющую погрешность аппроксимации .

Вариант №5.

 

1. Оценить решение и найти условие устойчивости разностной схемы, используя принцип максимума и следствия из него.

 

2. Привести разностную схему к каноническому виду и исследовать устойчивость по начальным данным.

 

где ,  н.у. заданы, г.у. нулевые

3. На шаблоне построить компактную разностную схему для уравнения , имеющую погрешность аппроксимации .

Вариант №6.

 

1. Оценить решение и найти условие устойчивости разностной схемы, используя принцип максимума и следствия из него.

 

2. Привести разностную схему к каноническому виду и исследовать устойчивость по начальным данным.

   

, н.у. заданы, г.у. нулевые

 

2. Используя шаблон построить компактную разностную схему для уравнения , имеющую погрешность аппроксимации .

 

Тест рубежного контроля

1) Вопрос:  Какое из приведенных выражений является скалярным произведением сеточных функций:

 

                1.       2.        3.

 

 

2) Вопрос: Какая из приведенных ниже разностных схем для уравнения теплопроводности является неявной:

 

 

1.

 

 

2.

 

3.

 

 3) Вопрос: Что означает принцип максимума для :

 

           1. Сеточная функция y (P) не может достигать наименьшего отрицательного значения во внутренних узлах сетки.

 

           2. Сеточная функция y (P) не может достигать наибольшего положительного значения во внутренних узлах сетки.

           

          3. Сеточная функция y (P) постоянная.

 

 

4) Вопрос: Оператор A называется кососимметричным, если:

 

          1.        2.        3.

 

 

5) Вопрос: Для равномерной устойчивости схемы вида: 

 

                ,

                 

 

 Необходимо и достаточно выполнение следующего операторного неравенства:

 

         1.       2.      3.

6) Вопрос: оператор А называется строго положительно определенным, если:

          

       1.              2.               3.

                

7) Вопрос: операторное уравнение называется корректным, если:

 

 

       1. Решение существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных.

 

       2. Уравнение имеет повышенный порядок аппроксимации.

 

       3. Решение операторного уравнения сходится к решению дифференциальной задачи.

 

 

8) Вопрос: для линейных разностных задач из аппроксимации и устойчивости следует:

 

       1. Консервативность разностной схемы.

 

        2. Сходимость разностной схемы.

 

        3. Монотонность разностной схемы.

 

9) Вопрос: из принципа максимума следует, что сеточное уравнение

                    

       с граничными условиями     имеет:

 

           1. Единственное решение.

 

           2. Тривиальное решение.

 

           3. Положительное решение.

 

10) Вопрос: достаточным условием ρ – сходимости схемы является:

 

           1. Корректность поставленной задачи.

 

            2. Обычная устойчивость задачи.

                

          3. Ограниченность оператора перехода.

 

 

Бланк правильных ответов

 

№ вопрс. / № отв.	1	2	3
1		*
2		*
3		*
4	*
5	*
6			*
7	*
8		*
9	*
10			*

 

Оценка:  за девять или десять правильных ответов – отлично.

           За семь правильных ответов - хорошо.

           За шесть правильных ответов – удовлетворительно.

           Остальное число ответов оценивается неудовлетворительно.