Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2022-10-29 | 38 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Как правило, дискретизация пространственных производных первого и второго порядка приводит к несамосопряженным операторам. Например, в задачах диффузии – конвекции, конвективная часть задачи порождает несамосопряженный оператор.
Рассмотрим частный случай схемы с весами с несамосопряженным оператором.
(1)
(2) , .
- весовой параметр.
Достаточное условие устойчивости по начальным данным с .
Теорема 1
Схема (1), (2) - устойчива с , если
1. оператор имеет обратный, т.е. существует оператор
(3) . Достаточным условием является .
2. выполняется неравенство
(4) .
Для начала докажем вспомогательное утверждение.
Пусть заданы два перестановочных оператора и , такие, что и существует обратный оператор . Тогда операторы также являются перестоновочными, т.е.
(5)
умножим слева на , тогда , обозначим , тогда . Элемент произвольный за счет выбора .
Доказательство:
Для задачи (1) требуется доказать оценку .
Надо получить: , а, следовательно, и . Т.е. надо доказать
(6) при выполнении (3), (4).
- оператор перехода от к , т.е. .
Далее задача (1), (2) будет записана в канонической форме двухслойных схем, а именно:
;
;
.
Итак, оператор .
С учетом (6) мы хотим доказать (4).
.
Вычислим
.
Очевидно, соотношение (7), с учетом (6) приводит к неравенству:
.
(8) .
Так как , то операторы перестановочные - перестоновочные.
Неравенство (8) запишется
.
Введем вектор , тогда
,
,
что и требовалось доказать.
Получим, что если , то выполняется (4) с .
Замечание.
1. Заметим, что неравенство (4) выполняется, если . В частности, если оператор , т.е. кососимметрический, то (4) выполняется для любого параметра .
|
2. Условие обратимости оператора может оказаться достаточно жестким в случае произвольного оператора . В случае . Если оператор незнакоопределен, тогда вопрос обратимости оператора решается на основе известной теоремы функционального анализа:
Теорема.
С – оператор из банахова пространства в банахово. Е и С – линейные операторы. Оператор имеет обратный оператор , если . При этом выполняется оценка: .
В нашем случае .
, что является жестким ограничением на шаг по времени.
И в случае явной схемы для уравнения теплопроводности .
Если использовать неравенство , то
Иногда обратимость оператора В является более жестким ограничением на шаг по времени, чем условие (4).
Пример 1.
Рассмотрим уравнение теплопроводности.
(*)
поставим в соответствие непрерывной задаче дискретную задачу:
(**)
Дискретную задачу можно записать в операторной форме для уравнения с весами с несамосопряженным оператором.
.
Оператор .
Заметим, что
1. ;
2. было вычислено соотношение
(9) .
-гильбертово пространство сеточных функций, определенных на сетке , таких, что обращаются в ноль при i=0.
Формула (9) может быть преобразована, если учесть что .
.
Получили
(10) , .
Можно воспользоваться неравенством (4).
,
неравенство выполняется для любых тогда и только тогда, когда , получим,
, из этого неравенства получаем допустимые .
__________________________________________________________
‼ Доказать самостоятельно что схема при имеет порядок аппроксимации .
__________________________________________________________
На практике очень часто встречаются схемы вида:
(11)
(12) .
.
Если то мы получаем схему с весами (1), (2) из теоремы 1.
Введем пространство в котором норма унифицирована оператором .
(13) .
Сформулируем теорему о равномерной устойчивости с - устойчивостью для схемы (11), (12) с .
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!