Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2022-10-29 | 25 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
10. Общее описание метода.
1) Выполняется:
(1) , - гильбертово пространство с введенным в нем скалярным произведением.
Задача (1) формулируется в слабой (обобщенной) постановке.
(2) .
2) Строится подпространство гильбертова пространства и выбирается базис в подпространстве. Базисные функции должны быть такими, что
(3)
Принципиальных препятствий нарушить условие (3) нет, однако в противном случае получаются системы линейных алгебраических уравнений с плотными матрицами, в противном случае матрицы разряженные, т.е. выполняется (3).
На самом деле рассматривается семейство подпространств (последовательность должна быть плотна в .
3) Решение задачи (2) ищется приближенно в в виде линейной комбинации базисных функций.
(4) .
Для поиска коэффициентов линейного разложения строится конечномерный аналог задачи (2).
(5) .
4) Решение задачи (5) после вычисления скалярных произведений слева и справа сводится к решению СЛАУ вида .
5) После нахождения искомая функция восстанавливается по формуле (4), например, кусрчно-линейное восполнения (4) и исследуется сходимость функции к при , т.е. .
20. Пример построения и исследования конечно-элементой схемы.
I. Рассмотрим первую краевую задачу для ОДУ второго порядка.
(1) ,
(2) .
Из курса дифференциальных уравнений известно понятие классического решения задачи (1), (2).
Нам понадобятся пространства , каждое из которых рассматривается как пополнение соответственно пространств , т.е. или пространству следует, что , т.е функции являются финитными.
,
.
Умножим обе части уравнения (1) на функцию и проинтегрируем по переменной на отрезке .
(3)
|
Применим формулу интегрирования по частям.
(4) .
Учитывая равенство (4) получаем из равенства (3) следующее равенство
,
(5) .
Напомним определение обобщенного решения задачи (1), (2).
Опр.
Функция , такая, что для любой функции выполняется равенство (5)называется обобщенным или слабым решением задачи (1), (2).
II. На отрезке построим в общем случае равномерную сетку
Для построим базис из кусочно-линейных функций, которые рассматривались ранее.
(6)
Элементами пространства являются все возможные линейные комбинации функций вида (6), т.е. кусочно-линеные функции, которые могут изменять свои наклоны в узлах сетки_ , и равны нулю на концах отрезка . Очевидно, квадраты базисных функций, а также квадраты их производных интегрируемы на отрезке , .
Выберем функцию и ее разложение по базису
(7) .
Также сформируем функцию , которую назовем далее приближенным значением задачи (5) и определенную следующим образом:
(8) , где .
Для удобства считаем, что .
Числа , которые как мы увидим дальше при максимальном из шагов , будут стремиться к функции , т.е. .
Ориентируясь на представление (7), (8) сформулируем обобщенную постановку дискретной задачи в .
Сформулируем понятие приближенного решения задачи (5).
Опр.
Функция выполняется равенство
(9) .
Подставим (7) и (8) в (9), считая, что .
Поскольку - произвольные, тогда будут произвольными и . А значит последнее равенство выполняется, тогда и только тогда, когда
, -любое.
Зафиксируем значение индекса .
Если , то мы получаем тривиальное равенство.
Рассмотрим случай, когда , получим:
(10) .
Разобьем отрезок на два: и .
,
.
Используем представления для интегралов и для преобразования (10). Введем следующие обозначения:
; ; ; .
Итак, получаем СЛАУ:
___________________________________________________________________________________________________
‼ 1) Доказать, что матрица СЛАУ не вырожденная,
2) показать, что матрица СЛАУ является трех диагональной,
|
3) показать, что для нее применим метод прогонки, т.е. есть строгое диагональное преобладание.
___________________________________________________________________________________________________
Если выполняются пункты 1)-3), то решение задачи (5) существует и единственно и может быть найдено вычислением по устойчивому методу прогонки.
Коэффициенты в явном виде вычислить не удается и на практике используются квадратурные формулы.
Реализация метода конечных элементов потребует применения некоторых теорем которые будут рассмотрены далее.
§3
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!