Показатели качества переходного процесса.

     К процессам управления предъявляются следующие четыре основных требования: по устойчивости, по точности на установившихся режимах, быстродействию и по качеству переходных процессов. Устойчивость САУ и точность на установившихся режимах рассмотрены выше. Перейдем теперь к рассмотрению качества переходных процессов и быстродействия САУ. Оценку можно проводить по виду кривой переходного процесса и по частотным характеристикам системы.

Оценку качества САУ по кривой переходного процесса можно проводить при некотором типовом входном воздействии, которым может быть как задающее, так и возмущающее воздействие. В качестве типового входного воздействия рассматривается обычно единичный скачек (ступенчатая функция).

В этом случае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собой переходную характеристику системы (рис. 27 а). Она может строиться для регулируемой величины Х_вых(t) или для ошибки DХ(t).

Склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным значением регулируемой величины Х_{вых. max} (h_max) или перерегулированием (s)

     Перерегулирование – это максимальное отклонение переходной характеристики относительно установившегося значения, выраженное в процентах от него. Х_вых(¥)= h_уст ¹0 представляет собой установившееся значение регулируемой величины после завершения переходного процесса.

Перерегулирование характеризует перегрузку в системе. Допустимое значение s для той или иной САУ может быть установлено на основании опыта эксплуатации подобных систем. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если величина s не превышает 10…30 %. Однако в некоторых случаях требуется, чтобы переходный процесс протекал вообще без перерегулирования, т.е. был монотонным. В ряде случаев может допускаться перерегулирование 50…70 %.

Быстродействие системы может определяться по длительности переходного процесса. Время регулирования (переходного процесса) t_p определяется как интервал времени от момента приложения на вход единичного скачка до момента, когда отклонение выходной величины от ее установившегося значения становиться меньше заранее заданной достаточно малой величины:

,

где D - заданная малая постоянная или допустимая ошибка, обычно под этой величиной понимают некоторую долю от установившегося значения, D =0,01…0,05 Х_вых (¥).

Допустимое значение времени переходного процесса определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования.

Колебательность переходного процесса характеризуется числом колебаний n, равным числу максимумов (минимумов) переходной характеристики за время регулирования t_p:

,

где Т _h – период колебаний.

Допустимое число колебаний, которое может наблюдаться в течение времени переходного процесса обычно составляет 1-2. В некоторых системах колебания вообще могут не допускаться, а иногда может допускаться до 3-4 колебаний.

Графически требования к качеству переходного процесса и быстродействию САУ сводятся к тому, чтобы отклонение регулируемой величины не выходило при единичном входном воздействии из некоторой области, изображенной на рис. 27 б. Эта область называется областью допустимых отклонений регулируемой величины в переходном процессе.

Оценка качества САУ по переходной характеристике h(t) обладает большой наглядностью. Однако при синтезе систем необходимо иметь возможность судить об основных показателях качества переходных процессов без построения их кривых, по каким-либо косвенным признакам, которые определяются более просто, чем кривая h(t), и, кроме того, позволяют связать показатели качества непосредственно со значениями параметров системы. Такие косвенные признаки разработаны и называются критериями качества переходных процессов. При исследование качества переходных процессов они играют ту же роль, что и критерий устойчивости при исследовании устойчивости САУ.

 

Для определения показателей качества электромеханической следящей системы необходимо построить переходную характеристику. Переходная характеристика h(t) представляет собой решение дифференциального уравнения (ДУ) системы

    ,

при x_вх(t) = 1 и нулевых начальных условиях. Подставив h(t) = x_вых(t), получим ДУ

    

коэффициенты определены при выводе передаточной функции замкнутой системы:

a₀ = 50; a₁ = 1;  a₂ = 0,105; a₃ = 0,0005; b₀ = 50.

     Перепишем ДУ в виде

    

     Обозначив h₁(t) =  получим однородное дифференциальное уравнение

    

Для его решения необходимо найти все корни характеристического уравнения

a₀ + a₁ p + a₂ p² + a₃ p³ = 0

50 + p + 0,105 p² + 0,0005 p³ = 0

Так как уравнение третьего порядка получим три корня:

p₁ = –202,6 = – b

p_2,3 = –3,72 ± j∙21,9 = – a ± j∙ w

где обозначено

b = 202,6;

a = 3,72;

w = 21,9 c^–1.

Получен один действительный корень и два комплексных. Поэтому решение ДУ имеет вид

h₁(t) = C₁ e^{– b t} + e^{– a t} (C₂ cos w t + C₃ sin w t).

Переходная характеристика системы будет равна

h(t) =  + h₁(t) =  + C₁ e^{- b t} + e^{- a t} (C₂ cos w t + C₃ sin w t).

Величина  = 1.

Постоянные величины C₁, C₂, C₃ найдем из начальных условий:

h(0) = 0, = 0, = 0.

Вычисляя первую и вторую производные функции h(t)­ при t = 0 и решая полученную систему уравнений относительно C₁, C₂, C₃, получим

С₁ = – 0,012; С₂ = – 0,988; С₃ = – 0,282.

Решение характеристического уравнения и определение постоянных C₁, C₂, C₃ подробно здесь не рассмотрено. Эти математические задачи можно решить с помощью математических программных средств, например, Mathcad.

Таким образом переходная характеристика равна

h(t) = 1 – 0,012 e^{– 202,6 t} – e^{-3,72 t} (0,988 cos 21,9 t + 0,282 sin 21,9 t).

По данной формуле построим переходную характеристику (см. рис. 28). Таблица значений расчетных точек не приведена.

Определим показатели качества:

– время регулирования

t_P = 0,76 c,

– перерегулирование

s = = = 58 %,

     – колебательность переходного процесса

n = 3.

Рис. 28. Переходная характеристика САУ

Оценка точности САУ

Определим коэффициенты ошибок. Передаточная функция системы по ошибке равна

W _D(p) = =.

или, в общем виде,

W _D (p) =,

где a₀́ = 0; a₁́ = 1; a₂́ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105;     

a₃́ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005;     a₀ = k = 50;     a₁ = 1;
a₂ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105; a₃ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005;

Представим W _D(p) в виде бесконечного степенного ряда

W _D (p) = S₀ + S₁ p + S₂ p² + …

где коэффициенты ошибок S_k определяются по формуле

S_k =  .

Определим коэффициенты ошибок S₀, S₁, S₂

S₀ = = 0;

S₁ = = = 0,02;

S₂ = = = 0,0017.

     Установившаяся ошибка будет равна

 =.

при x_ВХ(t) = 1: D x(t) = 0 – статическая ошибка системы отсутствует (система астатическая)

     x_ВХ(t) = t: D x(t) = 0,02 – скоростная ошибка постоянна;

     x_ВХ(t) = t²: D x(t) = 0,02 t + 0,0017 – ошибка от ускорения линейно возрастает с течением времени.

Контрольные вопросы

1. Как получить передаточную функцию САУ, зная ее дифференциальное уравнение?

2. Как получить дифференциальное уравнение САУ, зная ее передаточную функцию?

3. В чем отличие между передаточными функциями разомкнутой и замкнутой системами?

4. Как получить передаточную функцию САУ по ее структурной схеме?

5. Что называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)?

6. Что такое фазо-частотная характеристика (ФЧХ)?

7. Как построить амплитудно-фазовую характеристику (АФХ)?

8. Чем отличаются частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) от логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ)?

9. Что такое переходная характеристика?

10. Как составляется главный определитель Гурвица?

11. Какую передаточную функцию (замкнутой или разомкнутой системы) необходимо использовать в критерии а) Гурвица? б) Михайлова? в) Найквиста?

12. Каким образом судить об устойчивости по кривой Михайлова?

13. Как должна проходить АФХ разомкнутой системы, чтобы САУ была устойчивой?

14. Как определить частоту среза системы?

15. Как найти запасы устойчивости а) по АФХ системы? б) по ЛЧХ?

16. Что называют коэффициентами ошибок?

17. Как их определить?

18. Как найти установившуюся ошибку, если известны коэффициенты ошибок?

19. Как определить а) время регулирования САУ? б) перерегулирование? в) колебательность переходного процесса?

 

7. Задания для самостоятельной работы

Провести анализ электромеханической следящей системы с учетом уточненной модели электродвигателя. Анализ провести согласно плану на стр. 4.

В таблице 4 приведены варианты исходных данных

Уравнения элементов САУ: Усилитель (У): Tу + U(t) = kу ∆U(t), ∆U(t) = Uз(t) – Uт(t). Электродвигатель (Д): Редуктор (Р):. Измерительный (Пт) и задающий (Пз) потенциометры: Uт(t) = kп x(t), Uз(t) = kп xз(t)

Таблица 4.

Исходные данные

Вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
k	25	25	25	40	40	40	60	60	60	60	80	80	80	80
Tм, с	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	1,0	1,2	1,4	0,2	0,3	0,4	0,5
Tэ, с	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,1	0,1	0,1	0,1	0,05	0,05	0,05	0,04
Ту,с	0,01	0,02	0,015	0,01	0,02	0,015	0,02	0,03	0,04	0,05	0,01	0,02	0,015	0,03

 

Вар.	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
k	100	100	100	150	150	150	150	200	200	200	200	200	200	100
Tм, с	0,5	0,6	0,7	0,8	1,0	1,2	1,4	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,4
Tэ, с	0,05	0,05	0,05	0,1	0,1	0,1	0,1	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,1
Ту,с	0,01	0,02	0,015	0,02	0,03	0,04	0,05	0,01	0,02	0,015	0,01	0,02	0,015	0,03

Примечание: k = k_п k_у k_д k_р.

 

Список литературы

1. Теория автоматического управления и регулирования: учеб. пособие / Г. С. Аверьянов, В. Ю. Куденцов, А. Б. Яковлев; ОмГТУ. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005.

2. Управление в технических системах: учеб. пособие / Г. С. Аверьянов, А. Г. Туровец, А. Б. Яковлев; ОмГТУ. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2000.

3. Теория автоматического управления: учеб. для вузов / В. Я. Ротач. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МЭИ, 2004.

4. Практикум по теории автоматического управления: учеб. пособие для вузов по направлениям подгот. 550200, 651900 "Автоматизация и управление" / Л. Д. Певзнер. - М.: Высш. шк., 2006.

5. Теория автоматического управления: метод. указания для самостоят. работы студентов днев. формы обучения / ОмГТУ; Сост. Д. В. Ситников. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2003.