Передаточные функции звеньев и САУ. Структурная схема

     Для теории автоматического управления характерен переход от линейных уравнений к передаточным функциям – операторным выражениям дифференциальных уравнений. Передаточные функции позволяют легко представлять математическую модель системы в виде структурной схемы, состоящей из типовых динамических звеньев.

Передаточной функцией W(р) называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы (элемента) к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях.

Если  - изображение выходной величины, а    - изображение входной величины,

то     - передаточная функция,

здесь р – оператор Лапласа.

Для нахождения передаточной функции необходимо:

1) записать уравнение системы (элемента) в форме Лапласа при нулевых начальных условиях;

2) найти отношение изображения выходной величины к изображению входной.

Так, в форме Лапласа дифференциальное уравнение САУ

можно записать в виде

а передаточную функцию согласно определению в виде дробно-рациональной функции от переменной

 .

Передаточные функции являются основными характеристиками САУ и их элементов. Они упрощают составление математических моделей систем, их последующий анализ и синтез.

В рассматриваемой следящей системе применяется электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Уравнение электродвигателя имеет вид

.

Выходной величиной является угол поворота вала двигателя , а входной – напряжение U, подводимый к цепи якоря. Момент нагрузки  является возбуждающим воздействием.

Преобразуя уравнение (2.7) по Лапласу при начальных нулевых условиях, получим

откуда

.

     Электродвигателю в структурной схеме системы будет соответствовать звено, показанное на рис. 3.

Аналогично определению передаточной функции электродвигателя определяются передаточные функции остальных звеньев системы.

Электромагнитный усилитель. Из уравнения элемента

 

получим передаточную функцию.

.

Редуктор.

Из уравнения элемента

,

получим передаточную функцию

.

Чувствительный элемент состоит из задающего и принимающего потенциометров (безынерционные звенья). Передаточная функция потенциометра

.

Структурная схема системы управления будет выглядеть следующим образом:

     Проведем преобразования структурной схемы. Перенесем сумматор с правой стороны задающего потенциометра (k_П) в левую, добавив в цепь обратной связи звено. Получим

 

После подстановки значений передаточных функций и объединения звеньев электродвигателя и редуктора получим структурную схему САУ, показанную на рис. 5. На схеме обозначено: k₂ = k_Д k_р, T₂ = T_м.

 

Объединим последовательно соединенные звенья

 

Передаточная функция эквивалентного звена является передаточной функцией разомкнутой системы и рассчитывается по формуле

 =
= =,

где k = k_П k₁ k₂ = 1∙500∙0,1 = 50.

В общем виде

W_p(p) =,

где a₀́ = 0;   a₁́ = 1;  a₂́ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105;

a₃́ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005; b₀́ = k = 50.

 

Передаточная функция замкнутой системы

 

W(p) = = =.

 

В общем виде

W(p) =,

 

где a₀ = k = 50;     a₁ = 1;  a₂ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105;

     a₃ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005; b₀ = k = 50.

 

Передаточная функция по ошибке

 

W _D (p) = 1 – W(p) = =.