Ронли - это корни фи . Но если и если если это любой z й корень принадлежащий C,

затем мы выбираем их от его связанный негрупповые члены, целые групповые индексы находятся в определенный, если мы выбирать ВСЕ его связанный не являющийся членом группы *. То матрицы ао нашел будет включать ВСЕ то rth корни от Я и НЕТ Другие матрицы.

IT является очевидный, следовательно, тот каждый член группы A по sesses корни от Любой

Заданный индекс v

То Комната от a Не - Груй - Член.

24. Наконец, пусть 3f' быть негрупповым членом пустота с и групповой индекс p принадлежность к каноническая псевдогруппа P из (l 1), § 23, и пусть, если будьте любым Cth корень от если...; 3f будет алао принадлежать Для P. Если мы класть

_^'( 0 N)

тогда 3f должен удовлетворять условиям Jq A\ и K, m N,. Теперь не всегда можно найти нильпотентную матрицу N, удовлетворяющую последнему условию. Но если это возможно, так что если ' posses8es в пятой корневой у, тогда все его Рут корни соединены, как показано ниже: комплект в интернет и есть ' быть в группе - членов, связанные с 3 Ф и 3 Ф ', соответственно; тогда я, очевидно, очень Рут корень из меня. И наоборот, если я это Рут корень из А, если это в Рут корень из если. £ забор в

TaEORE3f: если М ' является a не являющийся членом группы и Л ' его O88OGJOted QTGHp- ОчкиИТХ p?’1’ тогда существовал i,f v- й корень из M! каждый v- й корень если! является оссоотнтед с v- м корнем L! и экери v th корень от Z' является связанный с a v th корень от 3f!.

В приказ тот 3f, aa определенный выше, мочь обладать a Cth корень, то неравенство

(jz — 1) z < v (t2)

должен быть удовлетворен. Поскольку p ia групповой индекс 3f', нильпотентная матрица Nj

Должен удовлетворять то состояние N:f: 0; следовательно N, должен удовлетворять то состояние

34

» V

N!' ¹:f: 0,. 'Shia означает, что групповой индекс H i8 > (y-1) r. Но максимальное значение группового индекса 3f — это его пустота v, так что 1) r. Поэтому,

Крыша, если (p — другими словами, если (pr— 1))

И, a, forliori IT Имеет НЕТ корень от индекс r.

v, Если ' hars no

Й корень,

Если в (12) t" фиксировано и p имеет минимальное значение 2, то из этого следует, что

максимальный доблесть конечно < r. Следовательно, a негрупповые члены мочь нет иметь Любой Крыши

ВЫКЛ Указатель равный Для, или более значительный Благодарю его пусто.

Если в (12) v зафиксировано и имеет свое минимальное значение 8, то из этого следует, что

Максимальный ценность от p является Я. следовательно, n негрупповой член от» острота зрения v

и группа - индекс -\- 1 Имеет НЕТ площадь крыша и так hac НЕТ корни что угодно.

Пример. Gonsider троичный нильпотентный матрицы (n r m 3), который иметь то

две канонические формы:

0 1 0 0 1 0

&, o o o (p 2), и B 0 0 1 (ju 3).

0 0 0 0 0 0

0 0 1

& Имеет квадратная рута, e. y. 0 0 0, но НЕТ корни от выше Указатель чем два;

0 1 0

на то Другие рука, & Имеет НЕТ корни что угодно.

P3R'£ IJ• ILLUSTRA ТИОНС И ПРИЛОЖЕНИЯ.

Серый "hical Повторения экстаз.

24. Для того чтобы придать конкретность этому отношению между то полномочия а негрупповой член 3f индекса группы p и полномочия связанной с ним группы - Участник Я, мы мочь представлять их Автор: Очки на два сходящиеся линии, туа:

Фи И Л т?

35

То Очки на то Гетеро линия представлять то матрицы от то Группа U сгенерированный Автор: Z, в который Я является то идентичный матрица и A ' это обратный от Джей Эн это так связанный с A, W с фи ', и т. д.; и аинс p- групповой индекс if, 3f^ m ñ^ и ВСЕ то выше полномочия от если равны к соответствующий полномочия от Z.* Это это просто тот хотя то полномочия от 3f От то Cth на генерировать то Группа C, f • сам Только генерирует a подгруппа от N.

24. для частный случай, в котором 3f удовлетворяет уравнению 3f^+'^ m f^, матрицы группы G может быть Еще удобно представленный по точкам на а круг, таким образом:

Для ради простота m является здесь взятый > p. А 8 до, если иа связанный с fi, W с fi^S, и т. д., и M* m J•, f^+¹ fi •+¹, и т. д. С - в от период m, то идентичный матрия от C в Z Я ` — Х ‘. Более того, f•+'^ == - •+'^

== Я • == f•. - силы иф повторяются, но никогда не размножаться первый сила. f^ будет генерировать целый Группа N, если, и только если, является основной Для m. Один пример в который IT генерирует a подгруппа является то пример подаренный в § 19.

* Чисто абстрактным oonaiderationa это eaay показать, что если 3f 1s любая математическая сущность, чей p - й и (p + 11st powera принадлежать Для a группа Р, затем все ita hlgher powera принадлежат P, при условии, что мощность H ^{объединять под то ааа ассоциативный закон . Для с t3f3f) 3f= если (bfgf), следовательно M и} фут ^{p+1 p} ре ^{коммутативный ;}

^{и aince то последний матрицы принадлежать Для P, (&) ' принадлежит Для Если и является commutativo с} W^{9 -]- 1, Позволь}

+1 (J9) (^{9) -! 9-{-l} {cp_u Z принадлежит Для a. Более того, fi = Если & (Если) ' - (3fp)—' t -_4f. Следовательно, если / ia тождественный элемент P, A = f/ m Z f, и H ia коммутативный с J. следовательно A^ m, если * Z* = 3f* /. Теперь auppoae Z p + r, где v > 0, то I H • - Если z = f • f^ laince f^ принадлежит Для П) = Если *; и alnce A принадлежит Для P, H* принадлежит Для C, когда 2 > y. Тот иа, эрери сила от N,

уууу экспонента иа > p, принадлежит Для d.

36