Ранг матрицы на единицу больше , чем разница между ее степенью и его пустота ( итак тот то последний должен быть тогда его группа - индекс является два .

29

То Условия от Негрупповые - M эмберит.

То характеристика свойства из а негрупповой член Если, любой один от

который отличает IT От ВСЕ члены группы, мочь быть резюмировать как следует:

(1) Jlf° la a/ /otcez не /c I/"on V;

Его характеристика детерм глупо Имеет около наименьший один окрестности начальный дивикор

Не - Gi-oup-Memberc Чья Полномочия Являются нет ЧД Отчетливый.

18. Как особый случай из а негрупповой член, рассматривать a матрица чья силы не все различны, в то время как ни одна высшая сила не равна первой. Каждый такой матрица если удовлетворяет уравнение формы 3f*+" 3f* (p>1). Если q и m, являются ли наименьшие положительные Целое число b, для которого справедливо это уравнение, чем p, очевидно, группа - индекс If, в то время как in - это порядок циклической группы, образованной выше полномочия от 3f.

Для пример, если

, тогда 3f° m

и если удовлетворяет уравнению 3f⁶ m 3f°, то его группа - индеа равна двум, а высшие степени 3f °, 3f', M’, If’ образуют циклическую группу четвертого порядка, у которой тождественная матрица является М ’.

В каноническое форма (1) матрицы вида thi8 компонент fiq должен быть периодической неособой матрицей периода m (если u > 0) и компонент N, mu8t- нильпотентная матрица группового индекса p, То есть A* = = Vq и K, m 0. Один немедленно последствие является то

Тэорем: & необходимо и су достаточное условие того, что силы негруппы - membet разве не все отчетливый является тот В крышах от его характеристическими уравнениями являются либо ноль или корни unify pal по крайней мере два рула;s существо sero) utid глухой стук по крайней мере один из ТОТИ пусто начальный dieisors of его характерный детерминант является нелинейный, пока ВСЕ не - encuous eiemenfnry делители nre Иин " ир.*

* Теорема Тиа, без последствия для группы ita, ia due Для Ф робениус, '' Ueber Ltneare Subatitutionen und Bilineare Для МУЖ," К ' рсффе Журнал Том. L XXB1Y (1876), p. 16, VIII.

30 RnNUM: То Grou'p- 3femberShip от Единственное число la Лиси.

Не - Группа - Cl янтарь выше Сила s Являются Равный.

18. Получается еще более частный случай, включенный в только что рассмотренный поставив m 1; уравнение, которое, если выполняется, то f^*¹ == f^ (p > 1)- Циклическая группа, порожденная высшими силами if имеет порядок один, а 3f^ является один идемпотент матрица. То ca,nonica1 форма от если является

(0“

) забор “

HEORE3f: & необходимый и супотентное условие, что высшее поу: эм не - члены группы все равны друг другу тем, что корни ее характеристики уравнение есть егурт / до нуля или единицы пэт минимум две комнаты равны нулю) и что около наименьший один из то фракции элементарные делители от их характеристика • истический детерминант является не - родословная пока ВЫКЛ то не пустотный начальный делители являются линейный.

Ясно, что все нильпотентные матрицы входят в этот класс; ибо если

a нильп o_pte_.n₊t matrix от степень n один d группа - индекс p, it уил l сатисф y the уравнение

>' =

= o• (*;> *.

Проходить III. ЭТОТ Роо ' ФС ОТ A ATRTX•

Ascoiated Матрицы.

18. Два матрицы _** и _{>' •} ^{больной} быть s:rid Для быть связанный если там существует a неособые матрица Я что трансформирует их в

, (10)

соответственно, где Jq не является сингулярным (если o > 0), а Kq и N(являются нильпотентными или sero. Если пустота от матрица равна нулю или единице, она не имеет связанных матриц кроме того сам. С другой стороны, если пустота жизни матрица > 1, она имеет бесконечный номер от партнеры, который мочь быть сказал Для форма a набор от асоциирует.

В каждый набор от партнеры просто один матрица, то один для который N, m 0,, является a член группы, и ВСЕ то остальное являются не - члены группы. Таким образом каждый Группа - Участник от пустота >1 имеет бесконечное номер связанных не - грой: п - члены. Два набора партнеры мочь называться подобными, если существует неособая матрия тот трансформирует один в то Другие; то выше набор если, если...,.... мочь быть

называемый a канонический форма от то Похожие набор ⁾_{> › >-'› 1-}

31

Исеты от Партнеры.

O2. 'JilEOREât: Если l - тф lO наборы ассоциатов S и бсл! есть м " итрикс М "! в комме, они съел идентичный.

Доказательство. Tn то Первый место " С и " С ' очевидно должен быть похожие наборы; там не будет никакой потери общности рассматривая один из них, $', быть в его каноническом форма. То неособые матрица A тот трансформирует А ' в fi будет преобразовать то Обычный матрица если... в некоторые матрица если из 6. Предполагать если и если " к быть подаренный Автор: уравнения (10) и позволять Aq

Затем с М! L L H, мы видеть тот A должен удовлетворять то уравнения

Из (b) и (c), с учетом теоремы Фробениуса,* мы видим, что B == 0, и 6' 0, и, следовательно, что

из (a) мы видим, что &q коммутативна с Jg, и поэтому I (а также L ^l) преобразует множество f в себя. Но ¹ преобразует S обратно в "S'; следовательно, два сета "S и S' идентичны.