Ограничен , когда x пробегает через D

r

, мы выводим устойчивость Ляпунова

Спектр оригинального коцикла.

Для части (b) мы сначала сопрягаем коцикл продукта Блашке с a

Новый коцикл с 0 в качестве случайной фиксированной точки. Напишите (

T

ω

) для

Коцикл конъюгированного продукта Блашке

T

ω

(z) = M

− 1

x

σω

◦ T

ω

◦ М

x

ω

(z), то
есть коцикл, в котором случайная неподвижная точка сопряжена с 0, так что

˜

T

ω

(0) = 0 и

T

(n)

ω

(z) = M

− 1

x

σ n ω

◦ T

(n)

ω

◦ М

x

ω

(z).

Доказательство будет работать, изменяя коцикл продукта Blaschke (

T

ω

)

Чтобы подарить новый близлежащий коцикл для продуктов Blaschke (

S

ω

), где случайная
фиксированная точка по - прежнему равна 0. На последнем шаге мы инвертируем операцию сопряженности
, чтобы дать новый коцикл (Ы) продукта Блашке

ω

) = (M

x

σω

◦ ˜

S

ω

◦ М

− 1

x

ω

) что

Имеет одну и ту же случайную неподвижную точку, (x

ω

), как (Т

ω

).

Обратите внимание, что с тех пор

T

ω

(0) = 0, ˜

T

ω

(z) может быть записано как

T

ω

(z) = zP

ω

(z)

Для рациональной функции P

ω

Это записано на диске устройства. Мы видим, что

P

ω

отображает единичный круг на себя так, чтобы по лемме 8(d), P

ω

(z) - это еще один

Продукт Блашке.

Теперь мы позволяем 0

< 1 и установить δ = (1 − р)/(3(1 + р)). Определите новый

семейство продуктов Blaschke:

Q

ω

=

M

− 1

P

ω

(0)

◦ Р

ω

если | П

ω

(0)| < δ;

P

ω

Иначе,

Где тот факт, что Q

ω

Является ли произведение Блашке следует из леммы 8(e).

Мы можем проверить, что Q

ω

(0) = 0 всякий раз, когда |P

ω

(0)|

см. Это |Q

ω

(z) − P

ω

(z)| ≤ 3 δ для каждого z в C

1

Теперь установите

S

ω

(z) = zQ

ω

(z)

итак |

S

ω

(z) −

T

ω

(z)| ≤ 3 δ для каждого z ∈ C

1

Далее, понаблюдайте (из

Правило продукта), что

T

ω

(0) = P

ω

(0) и

S

ω

(0) = Q

ω

(0) так что

S

ω

(0) = 0

всякий раз, когда |

T

ω

(0)|

Максимум

z ∈ C

1

| С

ω

(z) − Т

ω

(z)| = макс.

z ∈ C

1

| М

x

σω

◦ ˜

S

ω

◦ М

− 1

x

ω

(z) − M

x

σω

◦ ˜

T

ω

◦ М

− 1

x

ω

(z)|

= макс.

z ∈ C

1

| М

x

σω

◦ ˜

S

ω

(z) − M

x

σω

◦ ˜

T

ω

(z)|

≤ Губа (М

x

σω

) макс.

z ∈ C

1

| ˜

S

ω

(z) −

T

ω

(z)|

38

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

По лемме 36 части (а) и (с) и тот факт, что |x

σω

| ≤ r, Губа (М

− 1

x

σω

) ≤

1+r
1 − r

Так что Макс

z ∈ C

1

| С

ω

(z) − T

ω

(z)| ≤. Следовательно, новый коцикл имеет
ту же случайную неподвижную точку, что и старый, но для подмножества Ω
положительной меры у нас есть S

ω

(x

ω

) = 0, так что возмущенный коцикл находится
в случае (2) теоремы 1, как требуется.

Доказательство следствия 6. Сначала мы покажем, что стабильные элементы Блашке

R

(Ω)

сформируйте открытое подмножество. Пусть Т ∈ Блашке

R

(Ω) быть стабильным. Пусть r = r

T

(R)

R, пусть r < ρ

R

(w, z) ≤ C|w − z|

Для всех w, z, лежащих в

D

ρ

.

Теперь позвольте

= ess inf

ω

| Т

ω

(0)|/3. Выберите δ

2

, (1 −

ρ)

3

(1 −

r

R

)/(2C)) и пусть d(S, T)

Фиксированная точка, у

ω

, так как коцикл S удовлетворяет d

R

(y

ω

, x

ω

) ≤ C δ /(1 −

r

R

).

См. Это, предположим, что y и x удовлетворяют d

R

(y, x) ≤ C δ /(1 −

r

R

), Т

ω

(¯

D

R

) ⊂ ¯

D

r

И макс

z ∈ C

1

| С

ω

(z) − T

ω

(z)| Затем d

R

(С

ω

(y), T

ω

(x)) ≤ d

R

(С

ω

(y), T

ω

(y))+

d

R

(Т

ω

(y), T

ω

(x)) ≤ C|S

ω

(y) − T

ω

(y)| +

r

R

d

R

(y, x) ≤ C δ +

r

R

C δ /(1 −

r

R

) = C δ /(1 −

r

R

).

Применяя это индуктивно, мы видим, что для a.e.

ω, d

R

(Ы

(n)

σ

− н

ω

(0), Т

(n)

σ

− н

ω

(0)) ≤ C δ /(1 −

r

R

) для всех n.

Так как для a.e.

ω, S

(n)

σ

− н

ω

(0) → y

ω

И Т

(n)

σ

− н

ω

(0) → x

ω

, мы видим, что d

R

(y

ω

, x

ω

) ≤

C δ /(1 −

r

R

) a.s. Следовательно |y

ω

− х

ω

| ≤ C δ /(1 −

r

R

).

Теперь у нас есть для a.e. ω,

| С (у

ω

)| ≥ |T (x

ω

)| − |S (x

ω

) − T (x

ω

)| − | С (у

ω

) − S (x

ω

)|

≥ 3 −

δ

(1 − р)

2

−

2

(1 − ρ)

3

C δ

1 −

r

R

≥,

где мы использовали формулу Коши и тот факт, что |x

ω

| ≤ r для оценки

|(S − T)(x

ω

)| и тот факт, что |S (z)| ≤ 2/(1 − ρ)

3

На

D

ρ

Для последнего

Срок. Следовательно, S стабилен по мере необходимости.

Теперь для плотности пусть T- коцикл продукта Блашке, и предположим

r:= r

R

(Т)

ω

для случайной неподвижной точки. Мы получим
новый коцикл S с той же случайной неподвижной точкой, что и T, аналогично
доказательству теоремы 5(b), но где мы гарантируем, что производная
от S

ω

В x

ω

Ограничена расстоянием от 0. Пусть

< Р − р и устанавливают δ =

1 −р

6(1+r)

.

Как и прежде, определите

T

ω

= M

− х

σω

◦ T

ω

◦ М

x

ω

, так что

T = (

T

ω

) является

Крепление сопряженного коцикла 0. С

T

ω

(0) = 0, у нас есть

T

ω

(z) = zP

ω

(z),

Где Р

ω

Является еще одним продуктом Blaschke и

T

ω

(0) = P

ω

(0). Для формирования

Возмущения, пусть

Q

ω

=

M

2 δ

◦ P

ω

если |P

ω

(0)| ≤ δ;

P

ω

Иначе.

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

39

Мы можем это проверить |Q

ω

(0)| > δ для каждого ω. Затем мы позволяем

S

ω

(z) = zQ

ω

(z)

И С

ω

(z) = M

x

σω

◦ ˜

S

ω

◦ М

− х

ω

, так что С

ω

(x

ω

) = x

σω

Как в доказательстве

из теоремы 5(b) мы видим |S

ω

(z) − Т

ω

(z)| ≤

для всех z ∈ C

1

От

Определение понятия

S

ω

, | ˜

S

ω

(0)| > δ и поэтому, используя лемму 36(c), мы видим

| С

ω

(x

ω

)| > (

1 − r
1+r

)

2

δ для a.e. ω. Следовательно, S = (S

ω

)

ω ∈ Ω

является - возмущением
T, которое является стабильным.

6.4. Примеры. Для простого примера коцикла, удовлетворяющего
условиям теоремы 5, пусть a и b- любые числа в (0,

1
3

) и установить

T

1

(z) = [(a + z)/(1 + az)]

2

, Т

2

(z) = [(b + z)/(1 + bz)]

2

и Ω, чтобы быть

полная смена на {1, 2}

Z

и P любая эргодическая вероятность, инвариантная к сдвигу

Измерьте, затем можно проверить, что x

ω

≥ 0 для всех ω, в то время как критическое

точки находятся на − a и − b.

Теперь, учитывая любой коцикл, удовлетворяющий вышеуказанным условиям, можно ap-

примените теорему 5 в каждой из следующих ситуаций:

(1) (статическое возмущение) Предположим, что для каждого

> 0, (T

ω

) представляет собой коцикл

из продуктов Blaschke таких, что | Т

ω

(z) − Т

ω

(z)| ≤

Для каждого

z ∈ C

1

Затем по лемме 21, sup

ω

L

ω

− Я

ω

→ 0, так что по

Теорема 5, µ

n

→ µ

n

Как

→ 0.

(2) (подавленное случайное возмущение) Пусть τ: Ξ → Ξ - обратимая

преобразование с сохранением меры, такое, что σ × τ является эргодическим.
Затем рассмотрим семейство коциклов продуктов Блашке (T

ω, ξ

)

над преобразованием σ × τ такое, что |T

ω, ξ

(z) − T

ω

(z)| ≤

Для

каждый z ∈ C

1