F . Следовательно , (5) выполняется , когда

равно 0. Если f ∈

U

k

(ω)

+

, затем L

(n)
ω

f = L

Я

L

(n)
ω

L

Я

F. С момента L

Я

Является ограниченной инволюцией,

из этого следует, что существует c > 0 таких, что

L

Я

f

≥ c f

Для всех

f ∈ H

2

(А

R

). Сочетание этого с (i) обеспечивает требуемый результат

Для f, лежащей в тебе

k

(ω)

+

.

Теперь мы продемонстрируем (iii). Пусть ρ выбрано в доказательстве леммы

30 и пусть f ∈ H

2

(А

R

)

−

Соответствует норме 1. Мы показали в доказательстве того, что

Лемма 30 о том, что ˆ

e

− джей

Коэффициент L

ω

F составляет не более c

4

(

ρ

R

)

j

Применение

L

(n − 1)
σω

и, ссылаясь на оценку (3), коэффициент ˆ

e

− я

Это самое большее

j≥i

c

4

(

ρ

R

)

j

(c

1

λ

(n − 1)
σω

/R)

i

Это дает оценку

(I − Π

− к

)L

(n)
ω

f

≤

i≥k j≥i

c

4

(

ρ

R

)

j

(с

1

λ

(n − 1)
σω

/R)

i

ˆ

e

− я

≤

С

4

1 −

ρ

R i≥k

(пк

1

λ

(n − 1)
σω

/R

2

)

i

=

С

4

1 −

ρ

R

(пк

1

/R

2

)

k

(λ

(n − 1)
σω

)

k

i≥0

(пк

1

λ

(n − 1)
σω

/R

2

)

i

.

Так как для а. е. ω, λ

(n)
ω

≤ (r/R)

n

Для всех n существует n

0

Такие, что для

все n ≥ n

0

и а. е. ω ∈ Ω, пк

1

λ

(n − 1)
ω

/R

2

<

1
2

. С | Т

ω

(x

ω

)| это эссен -

тально равномерно ограниченные ниже, мы имеем λ

(n − 1)
σω

≤ λ

(n)
ω

/ ess inf

ω

| Т

ω

(x

ω

)|

a.e. Теперь для n ≥ n

0

, мы имеем для всех f, лежащих в единичной сфере

H

2

(А

R

)

−

,

(I − Π

− к

) Л

(n)
ω

f

≤ c(λ

(n)
ω

)

k

,

где c = 4c

4

(пк

1

/R

2

)

k

/ (1 −

ρ

R

) inf

ω

| Т

ω

(x

ω

)|

k

, доказывая (iii).

Наконец, чтобы показать (iv), пусть f ∈ H

2

(А

R

)

±

, и напишите f = f

+

+ f

−

.

С момента Q

+

И Q

−

Являются ортогональными проекциями, обе

f

+

и

f

−

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

33

Ограничены сверху

F. Вышесказанное показывает

(И − И

k

)L

(n)
ω

f

−

≤

c(λ

(n)
ω

)

k

f. Также (I − S

k

)L

(n)
ω

f

+

= L

Я

(Я − С

k

)L

(n)
ω

L

Я

f

+

С Л

Я

f

+

∈

H

2

(А

R

)

−

, мы видим

L

Я

(И − И

k

) Л

(n)
ω

L

Я

f

+

≤ L

Я

2

c(λ

(n)
ω

)

k

F,

Таким образом, желаемый вывод следует путем суммирования двух оценок.

Теперь пусть f ∈ C

ω, η

и пусть f = u + v, где u ∈ E

k

(ω) и v ∈ F

k

(ω).

Применяя вышеприведенные неравенства, мы имеем

L

(n)
ω

u ≥ c

5

(λ

(n)
ω

)

k

u;

И поскольку F

k

(ω) ⊂ Ч

2

(А

R

)

±

, для n ≥ n

0

,

(1 − Е

k

) Л

(n)
ω

v ≤ c

6

(λ

(n)
ω

)

k

v.

Обратите внимание, что Π

E

k

(σ

n

ω) F

k

(σ

n

ω)

(1 − Е

k

) Л

(n)
ω

v = − S

k

L

(n)
ω

V, так что

Лемма 30, С

k

L

(n)
ω

v ≤ M (1 − S

k

) Л

(n)
ω

В. Следовательно, мы видим

L

(n)
ω

v ≤ (M + 1) (1 − S

k

) Л

(n)
ω

v

≤ c

6

(M + 1)(λ

(n)
ω

)

k

v.

Теперь существует n

1

такое, что для всех n ≥ n

1

и а. е. ω, c

6

(M +

1) λ

(n)
ω

≤

1
2

c

5

. Следовательно, если n ≥ max(n

0

, n

1

), мы видим, что L

(n)
ω

f ∈ C

σ

n

ω,

η
2

.

6.3. Стабильность показателей. Наша теорема в этом разделе похожа
на теорему Богенша

utz [6]. В его постановке было два ключевых
предположения: однородность расщепления и однородность сходимости
к показателям Ляпунова. Первое из них в нашей ситуации
удовлетворяется вышеизложенным, в то время как мы ослабляем второе условие, не накладывая никаких
условий сходимости на показатели Ляпунова.

Лемма 34. Пусть σ - эргодическое обратимо сохраняющее меру
преобразование (Ω, P), пусть коцикл произведения Блашке удовлетворяет условиям
(а), (б) и (в), и пусть L

ω

Быть соответствующим семейству Перронов -

Операторы Фробениуса. Для каждого

> 0, пусть L

ω

Будьте семьей операторов

Такие, что ess sup

ω ∈ Ω

L

ω

− Л

ω

→ 0 как

→ 0. Если (µ

n

) являются
ли показатели Ляпунова невозмущенного коцикла перечисленными с кратностью, то для
каждого n, µ

n

→ µ

n

Как

→ 0, где (µ

n

) являются показателями возмущенного
коцикла.

Доказательство. Пусть Λ =

журнал | Т

ω

(x

ω

)| dP(ω)

Показатели Ляпунова равны λ

j

= (j − 1) Λ для j = 1, 2, 3,... где λ

1

= 0
имеет кратность 1, а остальные показатели имеют кратность 2.
Перечислите показатели с кратностью как µ

1

= 0, и µ

К

= µ

2 к +1

= k Λ

для каждого k ∈ N.

34

СЕСИЛИЯ ГОНЗ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Пусть N будет, как в утверждении леммы 33, а M будет, как в

Утверждение леммы 30 и c

5

Будет как в доказательстве леммы 33. Пусть

η > 0. Выберите n >> N так, чтобы (

3
4

c

5

)

Н

> e

− η

Теперь по следствию 22,

Есс поддерживает

ω ∈ Ω

L

ω

Конечна. Путем применения неравенства треугольника,

Есс поддерживает

ω ∈ Ω

L

ω

(n)

− Л

(n)
ω

→ 0 как

→ 0. Выберите

0

> 0, так что

<

0

Подразумевает

(6)

Есс поддерживает

ω

L

ω

(n)

− Л

(n)
ω

<

c

5

Эсс инф

ω

| Т

ω

(x

ω

)|

n(к− 1)

8(М + 1)

.

Предположим, что

<

0

и пусть u + v ∈ C

ω,1

, где u ∈ E

k

(ω) и

v ∈ F

k

(ω). Мы утверждаем, что для a.e. ω,

L

(n)

(u + v) ∈ C

σ

n

ω,1

; и

(7)

Π

E

k

(σ

n

ω) F

k

(σ

n

ω)

L

(n)

(u + v) ≥

3c

5

4

(λ

(n)
ω

)

к− 1

u.

(8)

Написание Π

(n)
E F

для Π

E

k

(σ

n

ω) F

k

(σ

n

ω)

и Π

(н)
Ф Е

для I − Π

(n)
E F

, у нас есть

Π

(n)
E F

L

ω

(n)

(u + v) = L

(n)
ω

u + Π

(n)
E F

(L

ω

(n)

− Я

(n)
ω

)(u + v),

Так что

Π

(n)
E F

L

(n)
ω

(u + v) ≥ c

5

(λ

(n)
ω

)

к− 1

у − М

c

5

Ess inf

ω

| Т

ω

(x

ω

)|

n(к − 1)

8(М + 1)

Ед

≥

3
4

c

5

(λ

(n)
ω

)

к− 1

U,

Установление (8). С другой стороны,

Π

(н)
Ф Е

L

ω

(n)

(u + v) = L

(n)
ω

v + Π

(н)
Ф Е

(L

ω

(n)

− Л

(n)
ω

)(u + v),

Так что

Π

(н)
Ф Е

L

ω

(n)

(u + v)

≤

1
2

c

5

(λ

(n)

)

к− 1

v + (M + 1)

c

5

Эсс инф

ω

| Т

ω

(x

ω

)|

n(к− 1)

8(М + 1)

У

≤

3
4

c

5

(λ

(n)

)

к− 1

u.

Это подразумевает, что L

ω

(n)

(u + v) ∈ C

σ

n

ω,1

.

Используя (7) индуктивно, мы видим, что L

(mn)
ω

(u + v) ∈ C

σ

Мин.

ω,1

для всех
m ∈ N. Тогда индуктивное применение (8) показывает, что для любого m ∈ N,

Π

E

k

(σ

Мин.

ω) F

k

(σ

Мин.

ω)

L

ω

(млн)

(u + v) ≥

С

5

4

m

(λ

(mn)
ω

)

к− 1

u

≥ e

− nmn

(λ

(mn)
ω

)

к− 1

u.

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

35