И интеграл находится над единичным кругом . С

В результате следствия 22 операторы L

ω

Являются ли равномерно ограниченное семейство на

H

2

(А

R

), мы видим, что записи матрицы N × N, представляющие

Ограничение до P

−

N

(ω), равномерно ограничены. (На самом деле, мы даем больше

Уточненные оценки в Разделе 6.)

Показатели Ляпунова коцикла, ограниченного Р

+

N

(ω) являются

Поэтому задается значениями

Лим

n → ∞

1

n

Бревно

n − 1

k=0

T

σ

k

ω

(x

σ

k

ω

)

j

= j лим

n → ∞

1

n

n − 1

k=0

Журнал T

σ

k

ω

(x

σ

k

ω

)

= j

Журнал T

ω

(x

ω

) dP(ω) =: j Λ,

где j колеблется от 1 до N, и мы использовали эргодическую теорему Биркгофа
в последней строке.

Наконец, чтобы показать, что Λ ≤ log

r

R

, обратите внимание, что ограничение d

R

К Д

r

Согласуется с евклидовым расстоянием с точностью до ограниченного множителя. То

выше показано, что Λ = lim

n → ∞

журнал | Т

(n)

ω

(x

ω

)|. Лемма 13 показывает, что

d

R

(Т

(n)

ω

(x

ω

+ h), Т

(n)

ω

(x

ω

)) ≤ a|h|(r/R)

n

, где a = d

R

(x

ω

+ h, x

ω

)/| ч |

является равномерно ограниченной величиной. Следовательно | Т

(n)

ω

(x

ω

+ ч) − Т

(n)

ω

(x

ω

)|/h ≤

C(r/R)

n

. Тот факт, что Λ ≤ log

r

R

Следует.

Коллапс спектра

В этом разделе мы сосредоточимся на примере. Пусть T

0

(z) = z

2

И Т

1

(z) =

z+1/4
1+z/4

2

, так что оба T

0

И Т

1

Расширяются карты 2- й степени

единичный круг, сопоставляющий единичный диск самому себе способом два к одному. Мы принимаем
базовую динамическую систему за полный сдвиг σ на Ω = {0, 1}

Z

с

инвариантная мера P

p

, мера Бернулли, где каждая координата

принимает значение 0 с вероятностью p и 1 с вероятностью 1 − p.

Мы позволили Л

0

И Я

1

Быть операторами Перрона - Фробениуса, соответствующими

T

0

И Т

1

Действие на единичном круге в отношении подписанной меры,

Dz, и рассмотрим коцикл L

ω

:= L

ω

0

И изучить свойства

L

(n)
ω

:= L

ω

n − 1

◦ · · · ◦ L

ω

0

.

Лемма 27. Пусть T

0

И Т

1

Следует определить, как указано выше. Затем

(a) T

0

Исправления 0 и T

1

исправляет a =

1
2

(7 − 3

√

5) ≈ 0.146;

(b) T

0

И Т

1

оба отображают подмножество [0, a] единичного диска в моно -

тонизирующе увеличивающийся путь в себя (с непересекающимися диапазонами);

22

СЕСИЛИЯ ГОНЗ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

(c) обе карты действуют как сокращения на [0,a]:

15
32

≤ T

1

≤

2
3

на [0, a]

и 0 ≤ T

0

≤ 2a на [0, a].

Для ω ∈ Ω, пусть x

ω

Обозначьте случайную неподвижную точку, как описано в

Теорема 1.

(d) Если ω =.... 10

n

· 0..., затем 2b

2

n

≤ T

ω

0

(x

ω

) ≤ 2 а

2

n

, где b =

T

1

(0).

Доказательство. Мы просто докажем утверждение (d). Пусть ω

− (n+1)

= 1 и ω

− н

=... =

ω

− 1

= ω

0

= 0. Тогда, поскольку x

σ

− н

ω

= T

1

(x

σ

− (n+1)

ω

), мы имеем b ≤ x

σ

− н

ω

≤

A. С x

ω

= T

n

0

(x

σ

− н

ω

), у нас есть b

2

n

≤ x

ω

≤ a

2

n

И 2b

2

n

≤ T

ω

(x

ω

) ≤

А

2

n

.

Доказательство следствия 2. Для (а), используя теорему 1, достаточно доказать Λ >>
− ∞, где Λ =

журнал | Т

ω

(x

ω

)| dP(ω). Ω может быть счетно разделена

(кроме фиксированной точки всех 0) в [ · 1]:= { ω ∈ Ω: ω

0

= 1}

и наборы [10

n

· 0]:= { ω ∈ Ω: x

− (n+1)

= 1, x

− н

=... = x

0

= 0} для

0 ≤ n

ω

(x

ω

) ≥ журнал

15
32

. На [10

n

· 0],

Журнал T

ω

(x

ω

) ≥ 2

n

журнал b по лемме 27(d). Так как P([10

n

· 0]) = (1 − p)p

n+1

,

Мы видим

Журнал T

ω

(x

ω

) dP(ω) =

[ · 1]

Журнал T

ω

(x

ω

) дП +

∞

n=0

[10

n

· 0]

Журнал T

ω

(x

ω

) дП

≥ (1 − p) логарифм

15
32

+ p(1 − p) журнал b

∞

n=0

(2p)

n

> − ∞.

Для (b), рассуждая, как указано выше, мы видим, что на [10

n

· 0], лог | Т

ω

(x

ω

)| ≤

2

n

журнал a + журнал 2 (где журнал a ≈ -1,925). Следовательно

Λ ≤ P

p

([1])(журнал

2
3

) +

∞

n=0

(2

n

журнал a + журнал 2)P

p

([10

n

· 0])

= (1 − p) журнал

2
3

+ p журнал 2 + p(1 − p) журнал a

∞

n=0

(2 р)

n

= − ∞.

5.1. Гауссовы возмущения. Теперь мы рассмотрим возмущенную версию
коцикла, где L

i

Заменяется на L

i

:= N ◦ L

i

, где N имеет
эффект свертки плотности по Гауссу со средним значением 0 и
дисперсией

2

На R/Z у нас есть

(N

R/Z

f)(x) =

1

√

2π

∞

− ∞

f (x − t)e

− т

2

/2

dt = Ef (x + N),

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

23

где N - стандартная нормальная случайная величина. Соответствующий
сопряженный оператор на C(C

1

) равно N:= N

C

1

= Q

− 1

N

R/Z

Q, где Q -

Как и в лемме 9. Расчет с использованием этой леммы показывает

(N f)(z) =

1

√

2π

∞

− ∞

F (ze

− 2ni т

)e

− 2ni т−т

2

/2

Dt.

Доказательство следствия 3. Из определения L

0

, мы проверяем

L

0

(f)(z) =

1
2

F (

√

z)

√

z

+

f (−

√

z)

−

√

z

,

где ±

√

z- это два квадратных корня из z. Мы определяем ˆ

e

n

(z) = z

n − 1

и
убедитесь, что

(2)

L

0

(ˆ

e

n

) =

ˆ

e

N/2

если n равно;

0

Иначе.

Мы вычисляем

N (ˆ

e

n

)(z) =

1

√

2π

∞

− ∞

ˆ

e

n

(ze

− 2 ни т

)e

− 2 ни т−т

2

/2

dt

= z

n − 1

1

√

2π

∞

− ∞

e

− 2nin t − t

2

/2

dt

= e

− 2π

2

n

2 2

ˆ

e

n

(z).

Объединив их, мы имеем

(L

0

)

n

ˆ

e =

exp(− 2 π

2 2

m

2

(4

n − 1

+... + 4 + 1))ˆ

e

m

Если

= 2

n

m;

0

Иначе.

Мы позволили Ч

2

0

(А

R

) быть подпространством H

2

(А

R

) состоит из тех функций,-

Тии, разложения Лорана которых имеют исчезающее z

− 1

срок. Пусть f ∈

H

2

0

(А

R

) иметь норму 1 и пусть f =

n ∈ Z

a

n

z

n

Будь его расширением.

Мы вспоминаем | а

n

| ≤ R

|n|

≤ 1 для всех n ∈ Z и a

− 1

= 0.

Сейчас

(L

0

)

n

f (z) =

m ∈ Z\{0}

опыт (− 2 π

2 2

m

2

(4

н− 1

+... + 4 + 1)) а

2

n

м− 1

z

м− 1

.

так что для z ∈ A

R

и n > 0,

|(L

0

)

n

f (z)| ≤

m ∈ Z\{0}

опыт (− 2 π

2 2

m

2

(4

n − 1

+... + 4 + 1)) Р

|2

n

м− 1|

R

− | м− 1|

≤

2

1 −Р

exp(− 2 π

2 2

4

n − 1

).

24

СЕСИЛИЯ ГОНЗ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Так как, если g- ограниченная аналитическая функция на

R

, г

H

2

(А

R

)

≤ 2 г

∞

,

Мы видим

(L

0

)

n

|

H

2

0

(А

R

)

≤

4

1 −Р

Опыт

− 2π

2 2

4

n − 1

. По лемме 12(b),

D

2

((Л

0

)

n

L

1

) ≤ A exp − 2 π

2 2

4

n − 1

, где A = 4 L

1

2

c

2

/(1 − R).

Теперь пусть N (ω) = min{n > 0: ω

n

= 1}. Мы рассматриваем индуцированную карту

на [1]:

σ (ω) = σ

N (ω)

(ω). Индуцированный коцикл определен для ω ∈ [1]

Автор:

L

ω

= L

ω

(N (ω))

, так что

L

ω

= (L

0

)

N (ω) − 1

L

1

.

L

ω

(n)

, мы имеем в виду

˜

L

˜

σ

n − 1

(ω)

◦ · · · ◦ ˜

L

ω

И по

P, мы имеем в виду нормализованное ограничение P
на [1] (поэтому соглашение заключается в том, что величины, отмеченные тильдами, относятся к
индуцированной системе).

Мы определяем время возврата для ω ∈ [1] по N

1

(ω) = N (ω) и

N

n+1

(ω) = N

n

(ω) + N (σ

N

n

(ω)

(ω)) при n ≥ 1. Теперь мы имеем, используя

Лемма 12(а),

1

N

n

(ω)

Журнал D

2

(L

ω

(N

n

(ω))

) =

1

N

n

(ω)

Журнал D

2

(˜

L

ω

(n)

)

=

n

N

n

(ω)

1

n

Журнал D

2

(˜

L

˜

σ

н− 1

ω

◦... ◦ ˜

L

ω

)

≤

n

N

n

(ω)

1

n

Журнал D

2

(˜

L

˜

σ

n − 1

ω

) ·... · D

2

(˜

L

ω

)

=

n

N

n

(ω)

1

n

n − 1

i=0

Журнал D

2

(˜

L

˜

σ

i

ω

)

≤

n

N

n

(ω)

1

n

n − 1

i=0

(− 2 π

2 2

4

N (

σ

i

ω) − 1

+ журнал A).

С

[1]

4

N (ω)

d

P

p

(ω) =

∞
n=1

4

n

p

н − 1

(1 − p) = ∞, мы видим среднее -

Возраст

1

n

n − 1
i=0

(− 2 π

2 2

4

N (

σ

i

ω) − 1

+ log A) в последней строке сходится к − ∞
почти наверняка по теореме Биркоффа, примененной к эргодическому
преобразованию

σ из ([1],

P

p

). Как н / Н

n

(ω) → 1/P

p

([1]) для

P

p

- почти каждый ω ∈ [1],

Мы видим

1

N

n

(ω)

Журнал D

2

(L

ω

(N

n

(ω))

) → − ∞ для

P

p

- а. е. ω ∈ [1]. Так как это