Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

(второе правило)

 

1.Найти область определения функции.

2.Найти первую производную функции.

3.Найти стационарные точки, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль.

4.Найти вторую производную функции.

5.Исследовать знак второй производной в каждой критической точке.

6.Сделать вывод: если вторая производная в точке х₀ положительна , то х=х₀ – точка минимума, если вторая производная в этой точке отрицательна , то х=х₀ – точка максимума.

7.Найти максимальные и минимальные значения функции.

 

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение.

1.Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е. .

2.Находим первую производную функции

.

3.Функция имеет производную всюду, поэтому критические точки находим, решая уравнение

.

 

4.Находим вторую производную функции

.

5.Исследуем знак второй производной в каждой критической точке:

6.Делаем вывод: т.к. , то х=0 – точка минимума; т.к. , то х=-2 – точка максимума.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Сформулируйте физический смысл производной.

2 Сформулируйте признак возрастания и убывания функции.

3 Какие точки называются точками экстремума функции?

4 Сформулируйте достаточное условие существования экстремума с помощью производной первого порядка.

5 Сформулируйте достаточное условие существования экстремума с помощью производной второго порядка.

6.Сформулируйте правило отыскания экстремума функции с помощью производной первого порядка.

7.Сформулируйте правило отыскания экстремума функции с помощью производной второго порядка.

 

Критерии оценки выполнения задания:

оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение1);

 

Тема 2.3: Интеграл и его применение

 

Самостоятельная работа №14: Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла.

Цель: закрепить умения решать задачи с применением определенного интеграла, выбирать типовые способы и методы выполнения поставленных задач.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1,3,4,6,8,9

Уметь: У19

 Знать: З1-З4

Количество часов:4

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задание для выполнения:

1. Составить алгоритм вычисления площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла, записать его в тетради для самостоятельных работ.

2. Решить задачи

 

Вариант 1

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x+1, х=1, x=2, у=0 (сделать чертеж).

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  х³, x=1, x=3, у = 0(сделать чертеж).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-5x, x=-2, x=0, y=0(сделать чертеж).

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ху – 6 = 0, х – 1 = 0, х – 2 = 0, у = 0 (сделать чертеж).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у² = 9х и прямой у = х (сделать чертеж).

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=4-x² и y=4-2x (сделать чертеж).

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=9-х², y=5 (сделать чертеж).

 

Вариант 2

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=3x+2, х=0, x=2, у=0 (сделать чертеж).

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , у=0, х = 1, х= 2 (сделать чертеж).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=5-3x, x=-2, x=1, y=0(сделать чертеж).

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и у²=х (сделать чертеж).

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ху – 2 = 0, х – 1 = 0, х – 3 = 0, у = 0 (сделать чертеж).

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=-x² +4 и y=2x+4 (сделать чертеж).

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=9-х², y=x+3 (сделать чертеж).

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы № 14.

 

 

Понятие определенного интеграла широко используется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площади плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции аАВв (рис.1), ограниченной графиком непрерывной функции , отрезком ав оси ох и прямыми х=а и х=в, вычисляется по формуле:

.

Если f(x)<0, то .

Рис.1.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми х=-1 и х=2 и осью абсцисс (рис.2).

 

Рис.2

Решение. Сделаем чертеж, для это

го построим каждую из заданных линий. Применим формулу:

.

Получим:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим каждую из заданных линий (рис.3).

Рис.3

Так как f(x)<0, то применим формулу , получим:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у²=4х и у=х.

Решение. Сделаем чертеж (рис.4), для этого построим каждую из заданных линий:

Рис. 4

Так как y>0, то используем формулу .

Найдем пределы интегрирования, для этого найдем абсциссы точек пересечения заданных линий, решив систему уравнений:

х² = 4х, х² - 4х = 0; х (х - 4) = 0 или х = 0 или х – 4 = 0, х = 4.

а = 0, в = 4.

Площадь искомой фигуры найдем как разность площадей двух плоских фигур:

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая плоская фигура называется криволинейной трапецией?

2. По какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции, если она расположена выше оси Оx?

3. По какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции, если она расположена ниже оси Оx?

4. Как вычисляется площадь плоской фигуры, если она ограничена двумя пересекающимися линиями?

 

Критерии оценки выполнения задания:

 оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

 

Раздел 3. Геометрия