Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение выборки

Генеральная совокупность – совокупность всех объектов, подлежащих изучению.

Выборочная совокупность (выборка) – часть объектов генеральной совокупности, отобранных для исследования.

Объем совокупности (генеральной или выборочной) – число объектов этой совокупности.

Генеральная совокупность может содержать конечное или бесконечное число элементов. Выборка всегда содержит конечное число элементов.

Генеральная совокупность всегда изучается относительно некоторого количественного признака , который представляет собой случайную величину. Часто генеральная совокупность объектов и соответствующая совокупность значений случайной величины не различаются. В этом случае под выборкой понимается совокупность значений случайной величины , соответствующих отобранным для исследования объектам.

Пример 1. Если для изучения времени, которое студент ежедневно тратит на подготовку к занятиям, из 10000 студентов университета отобрано 400 студентов, то объем генеральной совокупности , объем выборки , а изучаемый количественный признак (случайная величина)  – затрачиваемое на подготовку к занятиям время.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем исследователя признаке генеральной совокупности, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора ее элементов.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема , причем значение  наблюдалось  раз,  –  раз, …,  –  раз. Наблюдаемые значения  называются вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. Число  называется частотой варианты , а отношение  называется относительной частотой варианты .

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот (или относительных частот).

Статистическое распределение обычно задают в виде таблицы частот (или таблицы относительных частот).

… …	… …

Пример 2. В результате исследования получена выборка: 2, 5, 0, 1, 6, 3, 0, 1, 5, 4, 0, 3, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 3, 6,0, 3, 0, 1. Найти распределение частот и распределение относительных частот.

Объем этой выборки .

Запишем вариационный ряд, выбрав различные значения и расположив их в порядке возрастания, получим: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Заметим, что число 0 встретилось в выборке 7 раз, число 1 – 4 раза, число 2 – 3 раза, число 3 – 5 раз, числа 4, 5 и 6 – по 2 раза. Следовательно, распределение частот имеет вид:

	0	1	2	3	4	5	6
	7	4	3	5	2	2	2

Сделаем проверку: сумма частот должна быть равна объему выборки. Действительно, .

Найдем относительные частоты по формуле , где  - частота варианты,  – объем выборки:

.

Значит, распределение относительных частот имеет вид:

	0	1	2	3	4	5	6
	0,28	0,16	0,12	0,2	0,08	0,08	0,08

Выполним проверку: сумма относительных частот должна быть равна 1. Действительно, .

В случае большого объема выборки () статистическое распределение принято задавать в виде интервальной таблицы частот. Длину частичного интервала  принято округлять (например, если все числа в выборке целые, то  также удобно округлить до целого числа).

Пример 3. В результате исследования получена выборка: 75, 76, 51, 40,81, 72, 54, 53, 66, 44, 130, 100, 110, 113, 103, 112, 99, 114, 122, 115,68,111, 92, 124, 145, 118, 140, 117, 133, 120, 85,88, 87, 94, 77, 146, 111, 102, 96, 81, 111, 92, 103, 98, 102, 80, 108, 82,88, 129. Задать статистическое распределение выборки в виде интервальной таблицы частот и интервальной таблицы относительных частот.

В данном случае , следовательно, длина частичного интервала равна

.

В качестве начала первого интервала берется величина . Если - начало -го интервала, то .

Значит  и т.д.

Полученные интервалы перечисляются в первой строке интервальной таблицы частот.

Во второй строке таблицы указываются частоты интервалов. Под частотой  интервала понимается количество значений в выборке, принадлежащих данному интервалу.

Таким образом, интервальная таблица частот будет иметь вид:

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
	5	2	10	13	11	6	3

Проверка: .

Для построения интервальной таблицы относительных частот нужно найти для каждого интервала его относительную частоту по формуле . Эта таблица будет иметь следующий вид:

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
	0,1	0,04	0,2	0,26	0,22	0,12	0,06

Проверка: .

Задачи

1. В результате исследования получена выборка: 9, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 8, 10, 8, 10, 10, 5, 8, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 6, 10,8, 8, 10, 8, 6, 9, 8. Найти объем выборки. Записать вариационный ряд. Найти распределение частот и распределение относительных частот.

2. Дана выборка: 10, 12, 5, 12, 12, 10, 12, 10, 17, 10, 12, 5, 10, 5, 12, 10, 12, 5, 17, 12, 17, 10. Найти распределение частот и распределение относительных частот.

3. Выборка задана в виде распределения частот. Найти распределение относительных частот.

	4	8	14	15
	5	9	4	2

4. Выборка объема  задана в виде распределения относительных частот. Найти распределение частот.

	10	15	25	30	40
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

5. В результате исследования получена выборка: 24, 10,26,21,27,21,26,21,36,37,22,39,40,12,14,22,13,43,44,17,29,25,23,41,11,37,16,15,25,17,23,15,40,27,44,27,22,22,27,18,28,21,29,16,25,19,26,28,27,23, 16,38,24,24,41,42,21,10,28,19. Построить интервальную таблицу частот и интервальную таблицу относительных частот.