Лекция 6. Некоторые законы распределение непрерывных случайных величин

Плотность распределения непрерывной случайной величины называют также законом распределения. При решении практических задач приходится сталкиваться с различными законами распределения непрерывных случайных величин. Часто встречаются законы равномерного, показательного и нормального распределений.

Равномерное распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины  называется равномерным, если на отрезке , которому принадлежат все возможные значения , плотность распределения вероятностей сохраняет постоянное значение, а именно ; вне этого отрезка , то есть

Функция распределения для равномерного закона распределения имеет вид:

Графики плотности распределения  и функции распределения  изображены на рис. 2.

0

1

0

Рис. 2. Графики плотности вероятностей и функции распределения для равномерного распределения

Если случайная величина  равномерно распределена на отрезке , то , .

Если случайная величина  равномерно распределена на отрезке  и , то .

Пример 1. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найти математическое ожидание и дисперсию .

В данном случае , .

Следовательно, , .

Пример 2. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале: а) ; б) .

а) Так как , то .

б) Так как , то сразу применить формулу для нахождения вероятности нельзя. По теореме сложения вероятностей: .

Поскольку величина  равномерно распределена на отрезке , то все ее возможные значения принадлежат этому отрезку, значит, . Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна 0, следовательно .

Тогда .

Нормальное распределение

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

, где

 и  () – некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

График плотности вероятностей нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса). Эта кривая изображена на рис. 3.

0

Рис. 3. Нормальная кривая

Форма нормальной кривой не зависит от параметра , но зависит от параметра : с возрастанием  нормальная кривая становится «ниже» и «шире».

Если случайная величина  имеет нормальный закон распределения, то ее математическое ожидание равно параметру , а среднее квадратическое отклонение равно параметру , то есть , .

Если случайная величина  имеет нормальный закон распределения, то , где

 – функция Лапласа (п. 2.6.2).

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины  от ее математического ожидания  по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , определяется следующим образом: .

Пример 3. Случайная величина  – вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 375 г, и средним квадратическим отклонением, равным 25 г. Найти вероятность того, что вес одной случайно пойманной рыбы будет от 300 до 450 г.

По условию задачи , , , . Тогда

.

Пример 4. Найти вероятность того, что отклонение веса случайно пойманной рыбы от среднего веса (математического ожидания) по абсолютной величине не превосходит 15 г.

В данном случае , , .

Значит, .

Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

, где

 – постоянная положительная величина.

Таким образом, показательное распределение определяется одним параметром .

Функция распределения для показательного закона имеет вид:

Графики плотности распределения и функции распределения изображены на рис. 4.

0

0

1

Рис. 4. Графики плотности вероятностей и функции распределения для показательного закона распределения

Если случайная величина  распределена по показательному закону, то , .

Если случайная величина  распределена по показательному закону и , то .

Пример 5. Непрерывная случайная величина  распределена по показательному закону с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что в результате испытания значение  попадет в интервал .

По условию задачи , , .

Найдем значение параметра .

Так как , то .

Значит, .

Задачи

1. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке [4;6]. Найти плотность вероятностей и функцию распределения случайной величины . Построить графики плотности вероятностей и функции распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

2. Случайная величина  – время ожидания поезда на станции метро имеет равномерный закон распределения. Известно, что интервал движения поездов составляет 3,5 минуты. Найти вероятность того, что вышедший на перрон пассажир будет ожидать поезд: а) от 30 секунд до 2 минут; б) от 2 до 4 минут; в) от 4 до 5 минут.

3. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке [-2;2]. Найти плотность вероятностей и функцию распределения случайной величины  и построить их графики. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

4. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке [-10; 10]. Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале: а) (-3;3); б) (2;8); в) (15;20); г) (8;14).

5. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения составляет 10 минут. Найти: а) среднее время ожидания автобуса на остановке; б) вероятность того, что подошедший к остановке пассажир будет ожидать очередной автобус менее 4 минут.

6. Найти закон распределения равномерно распределенной случайной величины , если известно, что , .

7. Найти плотность вероятностей нормально распределенной случайной величины , если известно, что: а) ; б) . Построить нормальные кривые (на одном рисунке).

8. Найти плотность вероятностей нормально распределенной случайной величины , зная, что: а) ; б) . Построить нормальные кривые (на одном рисунке).

9. Нормально распределенная случайная величина  задана плотностью вероятностей . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение . Построить нормальную кривую.

10. Нормально распределенная случайная величина  задана плотностью вероятностей . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение . Построить нормальную кривую.

11. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины  соответственно равны 10 и 4. Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале: а) (12;14); б) (8;12); в) (5;7).

12. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины  соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале: а) (13;27); б) (22;28); в) (14;20).

13. Текущая цена акции представляет собой нормально распределенную случайную величину  с математическим ожиданием (средней ценой) 100 у.е. и средним квадратическим отклонением 16 у.е. Найти вероятность того, что цена акции будет: а) находиться в пределах от 90 до 120 у.е.; б) меньше 95 у.е.; в) больше 110 у.е.

14. Случайная величина  распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,8. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше: а) 1,5; б) 0,6.

15. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине: а) 10 г; б) 21 г.

16. Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение  длины детали от проектного размера по абсолютной величине меньше 1 мм. Считая, что случайная величина  распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,55 мм, найти, сколько в среднем процентов годных деталей изготавливает автомат.

17. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметр . Считая, что случайная величина  распределена нормально с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением , найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

18. Случайная величина  распределена нормально со средним квадратическим отклонением . Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,95 попадет величина  в результате испытания.

19. Случайная величина  – дальность полета спортивного ядра имеет нормальный закон распределения, ее математическое ожидание равно 20 м. Вероятность того, что ядро пролетит от 20 до 24 м, равна 0,2881. Найти вероятность того, что случайно выбранный спортсмен метнет ядро на расстояние от 15 до 23 м.

20. Случайная величина , распределенная по показательному закону, задана плотностью вероятностей . Найти параметр  показательного распределения. Найти функцию распределения случайной величины . Построить графики плотности вероятностей и функции распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины . Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале (1;1,5).

21. Случайная величина , распределенная по показательному закону, задана функцией распределения . Найти параметр  показательного распределения. Найти плотность вероятностей случайной величины . Построить графики плотности вероятностей и функции распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины . Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале (2,5;5), (0;5).

22. Длительность времени безотказной работы электронного устройства подчинена показательному закону распределения с математическим ожиданием (проектным временем службы) 10 лет. Найти вероятность того, что наудачу взятое устройство будет работать от 5 до 10 лет.

23. Случайная величина – время обслуживания автомобиля на СТО распределена по показательному закону. Известно, что среднее время обслуживания одного автомобиля составляет 40 минут. Найти вероятность того, что прибывший на СТО автомобиль будет обслуживаться: а) от 20 до 80 минут; б) менее 20 минут.

24. Линия связи состоит из двух каналов – основного и дублирующего. Моменты отказов каналов являются независимыми, распределенными по показательному закону случайными величинами с параметрами . Найти вероятность того, что линия связи будет исправно работать до момента времени .

Ответы

1. ; ; ; ; . 2. а) ;б) ;в) 0. 3. ; ; ; . 4. а) 0,3; б) 0,3; в) 0; г) 0,1. 5. а) 5 мин; б) 0,4. 6. . 7. а) ; б) . 8. а) ; б) . 9. ; ; . 10. ; ; . 11. а) 0,1359; б) 0,6826; в) 0,0606. 12. а) 0,8384; б) 0,2898; в) 0,3849. 13. а) 0,6301; б) 0,3783; в) 0,2643. 14. а) 0,9398; б) 0,5468. 15. а) 0,3830; б) 0,7062. 16. 93%. 17. (19,7;20,3). 18. 20. 19. 0,5670. 20. ; ; ; ; ; . 21. ; ; ; ; ; . 22. 0,2386. 23. а) 0,4712; б) 0,3935. 24. 0,8646.