Прежде всего, отметим, что поскольку система (13.4) симметрична относительно

к замене переменных (т. е. остается инвариантной относительно преобразования

x ↔ y) синхронное состояние x (t) = y (t) является решением (13.4) для всех значений

константа связи ε. Этоозначает, чтоеслиначальныеусловиясимметричны (т. Е.

x (0) = y (0) или V = 0) симметрия сохраняется во времени. Если мы хотим синхронного

Состояние, которое должно наблюдаться не только для конкретных, но и для общих начальных состояний, мы должны

наложить условие устойчивости: полностью синхронизированное состояние V = 0 должно быть

Аттрактор, т. е. синхронизация должна устанавливаться даже при несимметричном начальном

U1

а

1

F (U)

Рисунок 13.1. Косая палатка

Карта: простая решаемая

Модель одномерного

Хаотическая динамика.

Стр. Решебника 327

Устойчивость синхронного состояния

305

состояния. Это условие устойчивости даст нам критическую связь ε c для начала

Синхронизация. Поскольку V - поперечная переменная, устойчивость синхронного

Состояние можно описать как поперечную устойчивость симметричного аттрактора.

Переписывая систему (13.4) в переменных U и V (13.6), получаем

U (t + 1) = 1

2 [ f (U (t) + V (t)) + f (U (t) - V (t))],

(13,7)

V (t + 1) =

1 - 2 ε

2

[ f (U (t) + V (t)) - f (U (t) - V (t))].

(13,8)

0,0

0,5

1.0

Икс

0,0

0,5

1.0

y

0,0

0,5

1.0

Икс

0,0

0,5

1.0

Икс

а)

(б)

(c)

Рисунок 13.2. Аттракторы в системе двух связанных косых тентовых карт с a = 0.7.

Порог синхронизации ε c ≈ 0,228. (а) Синхронизированноесостояние (ε = 0,3)

заполняет диагональ x = y. (б) Слегка асинхронное состояние (ε = 0,2) находитсявблизи

диагональ. (в) В случае малой связи (ε = 0,1) мгновенныезначения

переменные x и y практически не коррелированы. Переход от (а) к (б) называется

Нарушение симметрии или бифуркация выброса.

–0,2

–0,1

0

0,1

0,2

V = (х - у) / 2

0

1000

Г.

3000

4000

Время

–30

–25

–20

–15

–10

–5

0

ln | V |

а)

(б)

Рисунок 13.3. Модуляционный

Перемежаемость в сочетании

Наклонные карты палатки с

а = 0,7. Муфта

Чуть меньше критического

единица, ε = ε c - 0,001. а)

Разница V между

Состояния систем демонстрирует

типичные всплески. (б)

Логарифм разницы

Показывает случайное блуждание

Шаблон.

Стр. Решебника 328

306

Полная синхронизация I

Далее мы линеаризуем эту систему вблизи полностью синхронного хаотического состояния

U (t), V = 0, и получить линейные отображения для малых возмущений u и v

u (t + 1) = f ′ (U (t)) u (t),

(13,9)

v (t + 1) = (1-2 ε) f ′ (U (t)) v (t).

(13.10)

Эта линейная система должна быть решена вместе с нелинейным отображением, определяющим

Синхронная хаотическая динамика

U (t + 1) = f (U (t)).

(13.11)

Поскольку в линейном приближении возмущения u и v не взаимодействуют, одно-

Продольные (симметричные, u) и поперечные (асимметричные, v) возмущения можно рассматривать

В отдельности. Ключевая идея этого лечения исходит из наблюдения, что лин-

Уравнения (13.9) и (13.10) определяют рост и затухание возмущений.

Хаотического состояния, и этот рост, соответственно затухание, количественно измеряется

Показатели Ляпунова системы. Действительно, двумерное отображение имеет два

Показатели Ляпунова, и поскольку в наших случаях динамика u и v разделены,

Эти показатели можно просто определить как средние логарифмические темпы роста u

и v:

λ u = lim

t →∞

ln | u (t) | - пер. | u (0) |

т

= 〈 Ln | f ′ (U) | 〉,

(13.12)

λ v = lim

t →∞

ln | v (t) | - ln | v (0) |

т

= ln | 1 - 2 ε | + 〈 ln | f ′ (U) | 〉.

(13.13)

Используя эргодичность хаотической динамики, мы можем заменить среднее по времени

со статистическим средним по инвариантной мере, обозначив его

кронштейны <>. Из уравнения. (13.9) легко видеть, что симметричное возмущение u просто

Возмущение хаотического отображения (13.11), таким образом, продольное (не нарушающее

синхронизации) показатель Ляпунова λ u есть не что иное, как показатель Ляпунова

λ несвязаннойхаотическойсистемы. ПоперечныйпоказательЛяпунова λ ⊥ ≡ λ v равен

связанный с λ как

λ ⊥ = ln | 1 - 2 ε | + λ.

(13.14)

Таким образом, средний рост или затухание поперечного возмущения v определяется величиной

поперечный показатель Ляпунова λ ⊥: ln | v (t) | ∝ λ ⊥ t, а критерии устойчивости

синхронное состояние можно сформулировать следующим образом:

λ ⊥ > 0: синхронное состояние неустойчиво,

λ ⊥ <0: синхронное состояние устойчиво.

Тогда порог устойчивости определяется из условия λ ⊥ = 0:

ln | 1 - 2 ε c | = −λ,

ε c =

1 - e − λ

2

.

(13.15)

Стр. Решебника 329

Начало синхронизации: статистическая теория

307

Например, для логистической карты показатель Ляпунова λ = ln 2, поэтому ε c = 1/4. Мы

Рассматривали устойчивость в среднем через среднюю скорость роста возмущений.

Связь этого понятия с другими характеристиками устойчивости (например, с асимптотической устойчивостью) такова:

В высшей степени нетривиальный и является предметом презентации ниже.

13,3

Начало синхронизации: статистическая теория