Автономная хаотическая система показывает несколько широких максимумов. Если периодическая сила с

Частота, близкая к частоте одного из максимумов, действует на систему, она может подавлять

Хаос. В результате возникают периодические колебания с частотой внешней силы.

наблюдается в заштрихованных областях (б). Обратите внимание, что сила должна быть достаточной.

сильный. Из [Безручко 1980; Безручко и др. 1981].

Стр. Решебника 175

Глава 6

Обнаружение синхронизации в экспериментах

В этой главе мы остановимся на методиках экспериментальных исследований синхронизации.

И дать несколько практических советов экспериментаторам. Раньше представляя разные

Особенности этого явления, мы проиллюстрировали теорию с результатами ряда

экспериментов и наблюдений. В этих примерах наличие (или отсутствие) син-

Хронизация была довольно очевидной, но это не всегда так. Собственно, обнаружение

Синхронизация нерегулярных генераторов - непростая задача. Простой визуальный осмотр

Сигналов, как это делал Гюйгенс в своих экспериментах с часами, не всегда бывает достаточно.

Необходимы специальные методы анализа данных. Действительно, простая оценка

Фазы и частоты сложного временного ряда, особенно нестационарного

Один - сложная проблема, и мы начнем с ее обсуждения. Далее мы переходим в

Два направления: во-первых, мы резюмируем, как определить свойства синхронизации

осциллятора (ов) экспериментально; во-вторых, мы используем идею синхронизации для анализа

Взаимозависимость между двумя (или более) скалярными сигналами. Некоторые технические детали

Обработка данных приведена в Приложении А2.

6.1

Оценка фаз и частот по данным

Синхронизация возникает как проявление взаимосвязи между фазами и свободой.

Частоты взаимодействующих осцилляторов. Для периодических осцилляторов эти соотношения (фаза и

Частотная синхронизация) довольно просты (см. уравнения (3.3) и (3.2)); для шумных и хаотичных

Систем определение синхронизации не так уж и тривиально. Во всяком случае, чтобы проанализировать

Синхронизации в эксперименте, мы должны оценивать фазы и частоты из

Данные, которые мы измеряем. Чтобы не быть слишком абстрактным, мы рассматриваем электрокардиограмму человека

(ЭКГ) и респираторный сигнал (поток воздуха, измеренный у носа пациента) как

примеры (рис. 6.1).

153

Стр.176

154

Обнаружение синхронизации в экспериментах

6.1.1

Фаза шипованного поезда. Пример: электрокардиограмма.

Существенной особенностью ЭКГ является то, что каждый (нормальный) кардиоцикл содержит хорошо

Ярко выраженный острый пик, который можно с высокой точностью локализовать во времени; это тра-

условно обозначен R-пиком (рис. 6.1а). Ряд R-пиков можно рассматривать

как последовательность точечных событий, происходящих в моменты времени t k, k = 1, 2,.... Фаза

Такой процесс можно легко получить. Действительно, временной интервал между двумя R-пиками

Соответствует одному полному кардиоциклу; 1 поэтому фаза нарастает во время этого

временной интервал ровно 2 π. Следовательно, мыможемприсвоитьвременам t k значения

фазы φ (t k) = 2 π k, а для произвольного момента времени t k < t < t k +1 определить

Фаза как линейная интерполяция между этими значениями

φ (t) = 2 π k + 2 π

Т - т к

т к +1 - т к

.

(6.1)

Этот метод можно эффективно применить к любому процессу, который содержит отдельный маркер.

События и, следовательно, может быть сведена к шипу. Определение фазы через

Маркерные события во временном ряду можно рассматривать как аналогию техники

С точки зрения физиолога кардиоцикл начинается с зубца P, который отражает

Начало возбуждения в предсердиях. Это не противоречит нашей процедуре: мы понимаем

Цикл как интервал между двумя почти идентичными состояниями системы.

0

1

2

3

4

5

Время (с)

1

3

5

φ / 2 π

0

25

50

Время (с)

0

10

20

φ / 2 π

а)

(б)

R k – 1

R k

R k + 1

Сигнал ЭКГ

Дыхание

(c)

(г)

Рисунок 6.1. Короткие сегменты (а) электрокардиограммы (ЭКГ) с отмеченными R-пиками

и (б) респираторного сигнала; оба сигнала показаны в произвольных единицах. (c) Этап

ЭКГ, рассчитанная в соответствии с формулой. (6.1) - кусочно-линейная функция времени; в

моменты появления R-пиков показаны кружками. (г) Фаза дыхания

полученное преобразованием Гильберта (уравнение (6.2)).

Стр. Решебника 177

Оценка фаз и частот по данным

155

Отображение Пуанкаре (см. Раздел 5.2), хотя нам не нужно предполагать, что система

Исследуемый является бесшумным, т. е. динамическим.

6.1.2

Фаза узкополосного сигнала. Пример:

Дыхание

Теперь рассмотрим гораздо более плавный дыхательный сигнал (рис. 6.1b); это похоже на синус