Траектории к аттрактору (предельный цикл), а первый соответствует

Сдвиг точки по предельному циклу, что эквивалентно сдвигу фазы

Осциллятор. Это предполагает введение фазы и для хаотических осцилляторов,

Как переменная, соответствующая нулевому показателю Ляпунова, или, другими словами,

Координата вдоль траектории. Сейчас мы покажем, что возможно множество эффектов.

где важна фазовая динамика, например частотный унос хаотических

Генераторы. Мы называем эти эффекты «фазовой синхронизацией», чтобы отличать их от

Другие типы синхронизации хаотических генераторов, которые будут описаны в разделе 5.3.

5.2

Фазовая синхронизация хаотических осцилляторов

В этом разделе мы сначала продемонстрируем, что по крайней мере некоторые хаотические осцилляторы можно характеризовать.

С фазой и частотой, зависящими от времени. Далее мы утверждаем, что синхронизация

Возможна установка этих генераторов в смысле захвата частоты. Мы обсуждаем в

подробно проиллюстрируем увлечение внешним воздействием и проиллюстрируем это на экспериментальном примере.

An M -размерный динамическая система имеет M Ляпунов.

Свойство иметь хотя бы один нулевой показатель Ляпунова выполняется для автономных систем,

Где возможны любые сдвиги времени. В случае периодически принудительных систем или сопоставлений

Могут быть сделаны только дискретные сдвиги времени (кратные периоду или натуральные числа,

Соответственно); нет нейтральных малых возмущений вдоль траектории и вообще все

Показатели Ляпунова отличны от нуля.

1

2

Рисунок 5.3. Иллюстрация

Почему нестабильность

Траектории приводит к

Нерегулярность: почти повторяется

Состояния 1 и 2 в конечном итоге

Расходятся, делая все

Повторы временные.

Стр. Решебника 164

142

Синхронизация хаотических систем

5.2.1

Фаза и средняя частота хаотического осциллятора

Основное наблюдение, лежащее в основе определения фазы и частоты, заключается в том, что хаотичность

Колебания многих систем выглядят как нерегулярно модулированные почти периодические. Для

Например, если мы возьмем в качестве модели Лоренца координаты z и u = √ x 2 + y 2 (в

фактически это соответствует специальной двумерной проекции фазового портрета),

тогда траектория на плоскости (z, u) выглядит как размытый предельный цикл (рис. 5.5a).

Временные зависимости z и u напоминают периодические колебания с изменяющейся

«Амплитуда» и «период». Остановимся на последних характеристиках колебаний.

Поскольку процесс носит нерегулярный характер, мы не можем определить его период так, как мы это делали для

Периодические колебания. 4 Вместо этого мы можем определить время между двумя похожими событиями в

временной ряд, например, между двумя максимумами переменной z. С точки зрения теории

Динамических систем, это можно интерпретировать как построение отображения Пуанкаре в соответствии с

Условию, что переменная z имеет максимум, и глядя на времена между

последовательные прокалывания поверхности Пуанкаре (рис. 5.5b). Эти обратные времена являются

Не равны: они зависят от значений переменных на поверхности Пуанкаре. Последний

Хаотичны, поэтому время тоже нерегулярное. Интерпретируя время возврата как

«Мгновенные» периоды колебаний, можно определить средний (усредненный) период

процесса z (t). Самый простой способ сделать это - взять большой интервал времени τ и

для подсчета числа N (τ) максимумов z в пределах этого интервала (или для подсчета любых других

события, выбранные для построения карты Пуанкаре); отношение τ / N (τ) дает

Средний период. Соответственно средняя угловая частота колебаний может быть

Более того, из спектра мощности хаотического процесса можно сделать вывод, что движение

Содержит много частот.

3

1

2

Рисунок 5.4. Расходящиеся, сходящиеся и нейтральные возмущения хаотической системы.

Состояние трехмерной хаотической системы (пустой кружок) возмущается в одном из

Три пути, соответствующие трем направлениям в фазовом пространстве (закрашенные кружки). В

невозмущенная траектория показана сплошной кривой. Возмущение 1 нарастает:

Соответствующая траектория (штриховая кривая) удаляется от исходной. В

Возмущение 2 затухает: его траектория (пунктирная линия) сходится к невозмущенному

Один. Возмущение 3 лежит на той же траектории, не растет и не затухает.

Стр. Решебника 165