Мы обнаруживаем, что он не соответствует таким простым геометрическим объектам, как предел

Цикл больше, а скорее к сложным структурам, которые называются странными аттракторами (в

В отличие от предельных циклов, которые являются простыми аттракторами).

137

Стр. Решебника 160

138

Синхронизация хаотических систем

5.1.1

Образец: модель Лоренца

В 1963 году метеоролог Эд Лоренц опубликовал свою знаменитую работу, в которой странный

Аттрактор был найден в численных экспериментах в контексте исследования турбулентного

конвекция. К счастью, существует простая физическая реализация модели Лоренца:

конвекция в вертикальном контуре [Gorman et al. 1984, 1986], см. Рис. 5.1. Жидкость

Нагревается снизу, а для достаточно сильного нагрева устанавливается конвекция. Сразу за

Начало, движение устойчиво, со скоростью постоянной V. Ясно, что в силу симметрии

Возможны движения как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Если

Нагрев снизу увеличивается, устойчивое вращение становится неустойчивым и

Потока наблюдаются. Более того, эти реверсии нерегулярны и не повторяются.

Сами по себе: движение не периодическое, а хаотичное.

Для теоретического описания хаоса можно смоделировать систему обыкновенным дифференциалом

Уравнения. До сих пор мы всегда рассматривали системы, которые могут быть представлены на

Фазовая плоскость, т.е. с двумя независимыми переменными. Это минимальный размер

Фазовое пространство для осциллятора предельного цикла, но его недостаточно для хаотического движения. Так как

Траектории не могут пересекаться в фазовом пространстве (это противоречило бы детерминизму -

Только одна траектория может развиваться из данной точки в фазовом пространстве), это невозможно

Столкнуться с чем-то более сложным, чем предельный цикл на фазовой плоскости. Хаотичный

Модель должна иметь как минимум три измерения, т.е. состояние осциллятора должно быть

Описывается не менее чем тремя координатами. Модель Лоренца имеет ровно три переменные

X, y, z имеют следующий физический смысл: x пропорционален горизонтальной температуре

Разность температур Т 3 - Т 1; y пропорционален скорости потока V; z пропорционален

К вертикальному перепаду температур Т 4 - Т 2. Следуя названию этой части, мы

Не буду писать здесь уравнения (см. Часть II, уравнения (10.4)), а просто представлю часть

их численное решение на рис. 5.2. Временная зависимость всех переменных демонстрирует

Беспорядочные колебания с переключениями между конвекционными движениями по часовой стрелке

(отрицательный y) и против часовой стрелки (положительный y) направления.

3

V

Т 1

Т 2

Т

Т 4

Рисунок 5.1. Конвекция

Вязкая жидкость в тонкой петле

С подогревом снизу

Хорошо описан

Система Лоренца.

Стр. Решебника 161

Хаотические осцилляторы

139

Мы взяли модель Лоренца как репрезентативный пример автономного хаотического

генераторы. Есть много других систем (например, электронные схемы, лазеры, химические

Реакции), демонстрируя хаос, который может быть смоделирован простыми системами дифференциальных

Уравнения; их описания можно найти в многочисленных книгах по хаосу, см. раздел 1.4.

Для цитат. Более того, наблюдения за некоторыми естественными нерегулярными процессами позволяют нам

предположить, что за ними стоит хаотическая динамика, см. примеры в [Kantz and

Schreiber 1997].

Здесь, как и в случае периодических колебаний, важно различать

Автономные и принудительные системы. Описаны самоподдерживающиеся хаотические генераторы.

На автономных уравнений, поэтому все моменты времени эквивалентны. Можно сказать

Что здесь временная симметрия (в смысле независимости динамики от времени

сдвигов) непрерывно. Есть много примеров хаотического движения в периодически возникающих

Управляемые нелинейные системы, описываемые неавтономными уравнениями. Здесь сила

Нарушает симметрию непрерывного времени, которая становится дискретной (только моменты времени

Сдвинутые на период силы эквивалентны); см. также соответствующее обсуждение

Для периодических колебаний в разделе 2.3.2. Еще один популярный класс хаотических моделей -

Отображения - в этом отношении эквивалентны периодически управляемым системам. Здесь время

Симметрия, очевидно, дискретна, потому что само время дискретно. Для многих свойств

Хаос, и в частности для эффекта полной синхронизации (раздел 5.3),

–20

0

20

Икс

–20

0

20

y

0

20

40

z

0

10

20

30

40

50

Время

–15

0

15

Икс

–20

0

20

y

0

20

40

z

а)

(б)

Рисунок 5.2. Динамика системы Лоренца (см. Уравнения (10.4)). а) прогнозы

фазовый портрет на плоскостях (x, y) и (x, z). Обратите внимание на симметрию x → - x, y → - y.

(б) Временные ряды переменных x, y, z (сплошные кривые). На этом рисунке мы также

демонстрируют чувствительность к малым возмущениям: в момент времени t = 25 возмущение

10 − 4 добавляется к переменной x. Возмущенная эволюция, показанная пунктирной линией