Четырехмерная теория упругости, учитывающая                   

  деформацию  координаты времени.

 

В этом параграфе представлены четырехмерные уравнения упругости, учитывающие деформацию координаты времени. Процесс получения этих уравнений построен при помощи обобщения в линейном приближении процесса получения уравнений четырехмерного гравитационного поля на упругое поле деформируемого упругого тела, когда принято, что связанное с упругой средой собственное время является деформируемой координатой наравне с пространственными координатами, как это сделано в теории гравитации. В основу построения четырехмерной теории упругости положен закон сохранения энергии деформации, не учитываемый классической динамической теорией упругости. Сложилась довольно странная ситуация в классической теории упругости, часть теории упругости, статическая, построена по принципу сохранения энергии деформации, а другая часть теории упругости, динамическая, построена по принципу сохранения количества движения. Принципы эти разные и один из них  приводит к противоречивым результатам и его не следует применять для вывода уравнений. А не следует применять принцип сохранения количества движения, применение которого для вывода уравнений в науке не обосновано, в отличие от принципа сохранения энергии.

 Построенные уравнения теории упругости,  учитывающие деформацию координаты времени, при определенных параметрах упругости, как далее будет видно, совпадают с четырехмерными уравнениями гравитационного и электромагнитного полей, в которых учет деформации координаты времени признан учеными и является научно законным. Данное совпадение подтверждает правильность и законность идеи учета деформации координаты времени и в теории упругости. Это говорится раньше времени потому, чтобы не отпугивать читателя от знакомства с содержанием данной книги, что может произойти из-за экзотичности названия рассматриваемой темы.

 Еще раз обсужден вопрос, а зачем нужны четырехмерные уравнения теории упругости. Эти уравнения оказались нужными, чтобы заменить классические динамические трехмерные уравнения теории упругости, которые, как оказалось, являются неправильными, потому что не выполняют закон сохранения энергии деформации. Четырехмерная теория упругости оказалась также нужной и для завершения создания теории упругой гравитации, которая в свою очередь также нужна, в частности, для выполнения работ по созданию гравитационного двигателя без выброса реактивной массы. Уже эта задача создания такого двигателя заслуживает того, чтобы отстаивать четырехмерную теорию упругости, если эта теория делает законной постановку и решение проблемы создания двигателя без выброса реактивной массы. Трехмерная теория упругости, в которой время является недеформируемой координатой, не давала возможности создать упругую гравитацию, в которой время является деформируемой координатой и еще четырехмерная упругость нужна потому, что динамическая трехмерная теория оказалась неправильной, а четырехмерная теория упругости исправила ее. Уравнения трехмерной динамической теории построены на основании выполнения закона сохранения количества движения, а не закона сохранения энергии, как это должно было быть. Закон сохранения энергии в решениях динамических задач по трехмерной теории упругости в результате не выполняется, примеры такого невыполнения далее будут приведены, они приведены и в литературе [14] в задачах соударения упругих тел. Трехмерная динамическая теория упругости, построенная на законе сохранения количества движения запрещает работы по созданию гравитационного двигателя без выброса реактивной массы и без приложения внешних к объекту сил. Это очень плохое следствие, если оно неверное, а неверным оно оказалось вследствие неверности самой трехмерной динамической теории упругости. И вот этот запрет не давал возможности работать над созданием гравитационного двигателя и создавать его. Что может быть хуже, если такого запрета не должно быть на самом деле?

 Поэтому и возникла необходимость заменить неправильную трехмерную динамическую теорию упругости на правильную четырехмерную динамическую теорию упругости, которая построена на основе закона сохранения энергии деформации. В результате четырехмерная упругость помогла также завершить работу по созданию упругой модели гравитации. Физики давно говорили о необходимости создания теории упругой модели гравитационной среды [3], но выполнить эту работу у них не было возможности именно из-за отсутствия четырехмерной теории упругости, в которой время также является деформируемой координатой. Четырехмерная теория упругости оказалась также нужной для устранения существующих разногласий классической трехмерной теории и эксперимента, о которых далее будет сказано. Эта теория позволила получить новые серьезные результаты в деформационном поведении упругих тел, о некоторых из них далее будет сказано подробно. Таким образом, четырехмерную теорию упругости нужно было построить и она была построена [4], и это построение далее в этом параграфе приведено.

До работы над предлагаемой книгой проводилась научная работа в области упругих оболочек и было интересно узнать, а нельзя ли получить новые результаты в теории оболочек, используя достижения в общей теории относительности – в четырехмерной гравитации с отличной от нуля кривизной четырехмерного пространства. В теории оболочек кривизна пространства, правда двумерного, также отлична от нуля и была надежда получить новые научные результаты, используя научные достижения в гравитации и обобщая их в теорию оболочек. Конечно же, первым шагом на этом пути стало получение четырехмерных уравнений теории упругости, которых не было в научной литературе. Определенный анализ самих этих уравнений и некоторых результатов их позволил получить крамольный результат о неправильности классической динамической теории упругости.

Уравнения четырехмерной упругости были получены достаточно давно, в 1967 г. и статья с этими уравнениями была набрана в журнале Прикладная математика и механика в 1968 г. по указанию Н. А. Талицкого, бывшего главного технического редактора, который с интересом отнесся к этим результатам. Но, к со-

жалению, по чьему-то требованию набор был рассыпан, однако остался и сохранился отпечатанный набранный вариант этой статьи. И с того времени все статьи по этой теме научные журналы отказывались и продолжают отказываться печатать, однако все-таки публикации в научной печати появились в последнее время и ссылки на них здесь даются. Это отступление сделано с целью показать, что предлагаемые научные результаты не являются случайными, а серьезно и долго прорабатывались и прорабатываются.

При проведении обобщения четырехмерных уравнений гравитации с целью получения четырехмерных уравнений теории упругости оказалось, что получить четырехмерные уравнения упругости очень просто. Проведение некоторой аналогии этих уравнений в предыдущем параграфе показало, что уравнения гравитации очень похожи на уравнения упругости. Совпадение уравнений четырехмерной упругости и гравитации, как будет видно из результатов данного параграфа, оказалось полным. Это совпадение уравнений решило и обратную проблему обобщения четырехмерной теории упругости на теорию гравитации: выполнено построение упругой модели среды гравитационного пространства и это очень неплохой результат, учитывая то, что ученые в области гравитации довольно настойчиво говорили об этой упругой модели [3], но не доводили дело до конца, потому что не было четырехмерных уравнений теории упругости. Оказалось, как уже не раз говорилось, что эта четырехмерная теория упругости была нужна и для выполнения данной работы по упругому моделированию среды гравитационного пространства.

Сразу же отметим здесь, что при выводе уравнений четырехмерной теории упругости оказалось, что не требуется вводить гипотезу о заданной скорости распространения возмущений, равной или скорости света, или скорости звука или какой-либо другой скорости, и это будет видно в процессе получения уравнений. Выполнена только следующая операция. С целью приведения размерности временного слагаемого в четырехмерной метрике, используемой для определения деформаций четырехмерного упругого пространства, к размерности длины, которую имеют другие члены метрики, временная координата преобразуется путем умножения ее на коэффициент с размерностью скорости, который может быть произвольным аналогично тому, как, например, произвольным может быть масштабный коэффициент, когда преобразуются пространственные координаты умножением на такой масштабный коэффициент. Построение четырехмерных уравнений упругости проведено, исходя из такой четырехмерной метрики. Это все ниже изложено, но сразу же еще раз отметим, что эти четырехмерные уравнения полностью совпадают с уравнениями гравитационного поля в случае, когда скорости продольных и поперечных волн равны между собой. Данное совпадение уравнений свидетельствует о том, что построенные четырехмерные уравнения упругого поля соответствуют научным требованиям математики, физики и механики, поскольку этим требованиям удовлетворяют уравнения гравитационного поля. Несколько позже, во второй и третьей главах на многочисленных примерах сравнения теории и эксперимента дано экспериментальное подтверждение правильности четырехмерной теории упругости. В основном рассматривались эксперименты, результаты которых не совпадают с результатами классической трехмерной теории, но совпадают с результатами четырехмерной теории. Все это здесь говорится несколько раньше времени с той целью, чтобы при чтении не преобладало чувство, что излагаемые сведения псевдонаучные, ничего не значат для науки, для приложений и не заслуживают внимания. Итак, как и при построении трехмерной теории упругости, рассматриваем изотропное упругое тело, задавая положение его точек в декартовых прямоугольных координатах x₁, x₂, x₃ . Выпишем систему уравнений равновесия этого тела в компонентах тензора напряжений s_ab  при отсутствии внешних сил вместе с уравнением неразрывности:

 

s_ab,b - p_a,t = 0, p_a,_a+ r,_t= 0,  p_a= ru_a,_t.              (1)

 

Здесь, как и ранее u_a —компоненты вектора перемещений, r,p_a—плотности вещества и импульса, индексы a,t после запятой означают  соответственно производные по x_a и по времени t. Перепишем уравнения, представив временную координату в виде х₄ = ivt, v - произвольный коэффициент с размерностью скорости, i = (‑1)^{1/ 2}. В теории гравитационного поля [3] иногда используется мнимая координата х₄ при проведении выкладок с целью получения уравнений в линейной постановке, но в большинстве случаев от нее отказываются из-за невозможности обобщить ее на нелинейную теорию. Здесь представляется все-таки более удобным использовать именно мнимую координату х₄ для более наглядного построения соотношений и линейных уравнений четырехмерного упругого поля, поскольку здесь речь идет о линейном приближении. Хотя можно все выкладки проводить, применяя тензорный анализ, как это сделано в теории гравитации, см., например, [3].

В теории гравитационного поля вместо произвольной константы v стоит скорость света с, но, как было сказано, и это далее будет видно, для получения уравнений нет необходимости использовать именно скорость света. Вместо скорости света можно использовать произвольную константу v с размерностью скорости. Обозначая vp_a = is_a4 =s_at, v²r = s₄₄ =s_tt, можем записать классическую систему четырехмерных уравнений равновесия (1) в виде:

 

                             s_jk,_k = 0, j,k = 1,2,3,4.                                    

 

Эти уравнения можно переписать в следующем виде:

 

                     s_ab,b - v^-1s_at,_t= 0, s_at,_a + v^-1s_tt,_t= 0,                            (2)

 

Параметры s_jk являются компонентами тензора напряжений и импульса в

четырехмерном пространстве x_j. Соответствующие им компоненты тензора деформаций e_jk определяются через полуразность метрик деформированного и     

недеформированного пространств:

 

                        2e_jk = g_jk - g_jk⁰                                             (3)         

 

Квадрат элемента длины ds₀² недеформированного пространства задается в виде:

 

  ds₀² = g_jk⁰ dx_jdx_k = dx₁² + dx₂² + dx₃² -v ²dt².

 

Введём также, как в трехмерном упругом пространстве, но уже в четырехмерном упругом пространстве, компоненты вектора перемещений u_j = x_j^* - x_j  как разности между координатами x_j^*, x _j точек тела, соответственно, в деформированном и недеформированном состояниях. При этом особо следует отметить компоненту u₄ = ivt^* - ivt = ivt, t^* - t = t, отражающую малое приращение временной координаты за счёт разницы между временем какой-либо частицы в деформируемом теле и временем той же частицы в недеформируемом теле.

Отметим, что время в упругой среде твердого тела не является абсолютным временем для всех явлений вселенной. Это время служит для описания динамических явлений в упругой среде и только. От чего зависят эти динамические явления? От динамических слагаемых в уравнениях равновесия. В эти слагаемые входит плотность вещества среды, которая деформируется при динамических процессах. Эта деформация влияет на динамические процессы, на величины скоростей продольных и поперечных волн, т.е. динамические деформационные процессы зависят от времени, следовательно, время зависит от этих процессов и является изменяемым параметром, деформируемой координатой, подобно тому, как деформируемыми являются пространственные координаты. В механике деформируемых сред это не принимается в расчет, но, как показывает предлагаемое здесь исследование, деформацию координаты времени в упругих средах следует учитывать. Эта деформация имеет реальный механический и физический смысл.

В гравитации деформируемость временной координаты признана и учтена в уравнениях и это дало и дает научные результаты. Предлагается такое признание распространить и на деформируемые среды. Связывать деформацию координаты времени со скоростью света нет необходимости. Дальнейший анализ покажет, что в действительности скорость распространения возмущений в гравитационной среде определяют не уравнения гравитации (1), а дополнительные уравнения, которые называют калибровочными условиями (2). Введение этих условий часто обосновывают словами “не нарушая общности”, хотя эти условия очень существенные и требуют обоснования. 

Итак, процесс динамического деформирования твердого упругого тела с учетом деформации координаты времени описывается следующим образом. Про-

деформированный элемент dx₁ ^*  следующим образом формируется  при деформировании элемента dx₁ = {d x₁, 0, 0, 0}:

 

              dx₁ ^*    = {(1 + u₁,₁)dx₁, u₂,₁dx₁, u₃,₁dx₁, u₄,₁dx₁}.

 

Аналогичные превращения претерпевают другие элементы dx_i, i > 1. 

Произвольный элемент ds получается суммированием элементов dx_i^*. Для квадрата длины этого элемента ds² получаем выражение:

 

ds² = g_jk dx_jdx_k = g_jk ⁰ dx_jdx_k + 2u _a,bdx _adx _b +              (4)

         2u _a,_tdx _adt - 2v²t, _adx _adt – v ²t,_tdt².                            

 

Соотношения между деформациями перемещениями в четырёхмерном пространстве согласно формул (3), (4) получаются следующими:

 

           2e_ab = u_a,b + u _b,a, 

           2e_at = v^-1u_a,_t - vt,_a, e_tt = - t,_t.                              (5)

 

Соотношения между деформациями и напряжениями получим при помощи функции плотности энергии деформации W четырехмерного пространства. Для линейно-упругого тела в рамках классической теории полная энергия W, равная сумме энергии упругой деформации и кинетической энергии, определяется по формуле:

 

             2W = lq² + 2me_abe _ab + r u _,t²,                             

 

 Здесь l, m по прежнему упругие постоянные Ламе, q = e_aa - объёмная деформация. Выписанная энергия содержит компоненты, затраченные на деформацию тела и кинетическую энергию, но не содержит компонент, связанных, как далее будет видно, с динамической деформацией плотности вещества, дополнительной к деформации плотности вещества, определяемой объемной деформацией. Данную часть энергии учтём, вводя в потенциал W компоненты e _jt , s _{j t,} (j=1,2,3,4). Тогда энергия W запишется в виде:

 

2W = s_jke_jk = lJ² + 2me _abe_ab + k₁Je_tt + k₂e_tt² + k₃e_ate_at.           (6)

 

Здесь в W содержится три произвольные постоянные k_j. Эти постоянные определяются из условия, что в предельном случае при t равном нулю четырехмерная модель упругого тела переходит в классическую, могут встречаться задачи, когда временное перемещение тождественно равно нулю и тогда должна работать классическая трехмерная теория. В представленном виде функция W является самой общей квадратичной зависимостью от деформаций для пространственно изотропного тела, допускающей переход, как было сказано, разрабатываемой четырехмерной модели упругого тела к классической модели при t = 0. Добавление в W других слагаемых с деформациями, связанными с координатой времени, приведет к невозможности такого перехода.

Постоянная k₃ находится из равенства классического и четырехмерного (6) выражений для плотности энергии при t = 0:

 

                                        k₃ = 2rv²

 

Продифференцируем далее плотность энергии (6) по e_ik  и получим зависимость напряжений от деформаций s_jk = ¶W/¶e_jk. Выпишем получившиеся выражения напряжения - деформации:

 

             s_ab = lJd_ab + 2me_ab + (1 ¤ 2)k₁e_ttd_ab,                 (7)

              s_at = k₃e _at, s_tt = k₁J/2 + k₂e_tt

 

Здесь d_ab —cимволы Кронекера. Подставляя (7) в уравнения (2), приходим при t = 0 к следующим равенствам:

 

                 s_ab,b - ru_a,_tt = 0, k₁J,_t - k₃ u_a,at = 0.                

 

Так как, по определению, u _a,a = J, то из последнего уравнения следует, что должно быть k₁ = k_3, так как уравнение неразрывности при t = 0 должно обращаться в тождество. Распишем теперь систему уравнений (2) в перемещениях с учётом t и определенных постоянных k₁ и k₃:            

 

            mDu_a + (l + m)J,_a -ru _a,_tt = 0,                          

            к₃ v²Dt - 2k₂t,_tt = 0

 

Здесь D —оператор Лапласа. Первые три уравнения известные – это классические динамические уравнения теории упругости: в этих уравнениях временная компонента перемещений сократилась, вернее уничтожилась и для пространственных перемещений уравнения классической теории упругости остались прежними и в четырехмерной модели. В параграфе § 2.1 при рассмотрении классических динамических уравнений теории упругости было сказано, что хотя эти уравнения и неверны, как законченная теория упругости, они входят составляющей частью в четырехмерные уравнения, что является интересным фактом, который может оказать помощь при решении задач в рамках четырехмерной теории. Таким образом, четырехмерная теория упругости практически мало усложнилась по сравнению с классической динамической теорией упругости, к ее уравнениям, которые сохранились прежними, добавилось только волновое уравнение для компоненты времени, т. е. для временной составляющей t получилось из четвер-

того уравнения равновесия отдельное уравнение. Из вида этого уравнения заключаем, что должно выполняться׃

 

               k₂= rv⁴c₁^-2,  с₁² = (l+2m)r ^-1                                                         

 

потому что только тогда скорость распространения волн, определяемых функцией t, в которых, как далее будет показано, имеет место динамическая деформация расширения - сжатия вещества, равна скорости объемных или продольных волн с₁, которые также связаны с изменением плотности вещества_.  Таким образом, постоянные k₁, k₂, k₃ определились и равны:

 

                 k₁= k₃= 2rv², k₂= rv⁴c₁^-2                                     (8)

 

Следует однако отметить, что скорость распространения волн, определяемых функцией t, может быть формально и иной, все определяет реальность, эксперимент. Но другой скорости волн, связанных с изменением плотности вещества, пока не зафиксировано в экспериментальных исследованиях, поэтому будем считать, что она совпадает со скоростью продольных волн.

 Четырехмерный тензор энергии-импульса  в уравнениях гравитации Т_jk удовлетворяет уравнениям:

 

            Т_jk,k = o                                         

 

Об этих уравнениях в монографии [1], стр.355 сказано, эта цитата уже была приведена в предыдущем параграфе, но она важна для проведения анализа, поэтому ее можно повторить: «уравнения, выражая собой законы сохранении энергии и импульса, содержат в себе уравнения движения той физической системы, к которой относится рассматриваемый тензор энергии-импульса (т. е. уравнения движения материальных частиц или вторую пару уравнений Максвелла). Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле».  В гравитации четырехмерные уравнения движения материальной среды физиками получены достаточно давно и никто в настоящее время их не критикует за учет в этих уравнениях деформируемости координаты времени наравне с деформируемостью пространственных координат. Конечно же, метод получения этих уравнений можно и нужно использовать в теории упругости, потому что характер полей гравитации и упругости одинаковый.

Уравнения движения в четырехмерной теории упругости имеют такой же вид:   s_jk,_k = 0  и к ним относится положение, высказанное в цитате. Полученные уравнения теории упругости, учитывающей деформацию координаты времени обеспечивают [4] выполнение закона сохранения энергии деформации W(4), об этом сказано в указанной работе, цитата из которой приведена выше:

 

             W(4) = òòòòWdvdτ = òòòòs_jke_jk dvdτ =                                                                 

       = òòòò(lJ² + 2me _abe_ab + k₁Je_tt + k₂e_tt² + k₃e_ate_at)dvdτ 

 

Это говорит о том, что закон сохранения энергии в четырехмерной теории упругости выполняется.   Если задать граничное и начальные условия такими, что для временного перемещения они нули, то получим в упругом теле t = 0 и тогда задача вырождается в классическую задачу теории упругости. Вполне возможно, что такие задачи существуют в реальном мире и это обстоятельство послужило основой при выборе метода построения четырехмерной модели упругого тела: четырехмерные уравнения должны при t = 0 переходить в классические трехмерные уравнения. Таким образом, уравнение для временной компоненты перемещения имеем уравнение:

 

                              Dt - с₁^-2t,_tt = 0.

 

Постоянную v, участвующую в преобразовании временной координаты, как видим, можно задавать произвольной и это не влияет на вид полученных уравнений. Скорости распространения волн в упругом пространстве должны определяться и определяются полученными уравнениями. Как видим, эти скорости волн в четырехмерной теории сохраняются такими же, как в классической теории упругости.  Запишем  полученные  четырехмерные  уравнения иначе:

 

                     ru_a,_tt = m t,_{a t} + s_ab,b + f_a

 

  Проинтегрируем уравнение движения точек среды по всему объему тела:

 

      òòòru_a,_ttdv = òòòs_ab,bdv + òòòm t,_at dv + òòòf_adv

 

   Получим:

 

     MU_a,tt = F_a + òòòs_ab,bdv + òòòm t,_at dv, F_a = òòòf_adv

 

   Здесь М масса тела, U_a перемещение его центра тяжести, F_a внешняя равнодействующая сила, приложенная к телу. Интегральные члены в уравнении определяет вклад деформационного процесса в процесс движения твердого тела, при этом отдельно входит слагаемое с временной компонентой τ. Утверждать, что при упругом соударении двух тел, например, с их соединением в единое тело со-

храняется неизменным то начальное, так его назовем, количество движения, которым обладали эти тела до момента контакта, нельзя, потому что интегральные члены в уравнении приводят в общем случае к изменению начального количества движения. Для недеформируемого тела справа стоит только F_a, а для деформируемого тела справа уже иная величина, а общий вывод такой, что закон сохра-

нения количества движения в деформируемом теле не работает. Таким образом, согласно четырехмерной теории упругости, закон сохранения количества движения не является всемогущим и его не нужно использовать для установления запретов на проведения некоторых научных исследований.

 Зададим для конкретности постоянную v равной максимальной скорости распространения возмущений в упругом теле, т.е. равной скорости продольных волн с₁. Выпишем постоянные к_i, соответствующие этому случаю:

 

          к₁ = к₃ =2(l+2m), к₂ = (l+2m),                                                             

 

Можно теперь выписать обобщенную линейную систему уравнений четырехмерной теории упругости:

 

       s_ab,b - с₁^-1s_at,_t = 0, s_at,_a + с₁^-1s_tt,_t = 0,                             (9)

 

В перемещениях эта система уравнений имеет вид:

 

                    mDu_a + (l + m)J,_a - ru _a,_tt = 0,                                (10)

                         Dt - с₁^-2t,_tt = 0.

 

Обобщенный закон Гука:

 

            s_ab = lJd_ab + 2me_ab + (l + 2m)e_ttd_ab, s_at = 2(l + 2m)e_at,

                        s_tt = (l + 2m)(J + e_tt)                                             (11)

 

К этим уравнениям следует также добавить геометрические соотношения (5), связывающие деформации и перемещения:

 

   2e_ab = u_a,b + u _b,a, 2e_at = с₁^-1u_a,_t - с₁t,_a , e_tt = - t,_t.                        

 

Если во всех этих уравнениях положить t=0, то получатся классические уравнения упругости, потому что именно исходя из этого положения четырехмерные уравнения и были получены. Интересным в этой процедуре получается следующее. Деформация e_at при таком переходе не обратится в нуль, а будет равна 2e_at = с₁^-1u_a,_t. Получается, что классические уравнения упругости можно записать в терминологии четырехмерной теории упругости, используя понятия компонент четырехмерных тензоров деформаций и напряжений, только компоненты дефор-

маций, связанные с временной координатой будут укороченными по сравнению с пространственными компонентами деформаций.

Сравнивая в этом случае пространственные сдвиговые деформации 2e_ab = u_a,b + u _b,a  и временные сдвиговые деформации 2e_at = с₁^-1u_a,_t, так их назовем по аналогии с пространственными деформациями, видим следующее. Деформации

e_at формально имеют вид, аналогичный пространственным, но укороченный, неполный. Во временных сдвиговых деформациях отсутствует второе слагаемое, каковое имеется в пространственных сдвиговых деформациях. И вот теперь этот, пока еще формальный, недостаток классической теории упругости устраняется. Уравнения приняли достаточно симметричную форму с точки зрения вида четырехмерных компонент деформаций, временные сдвиговые деформации приняли аналогичный вид, что и пространственные сдвиговые деформации. 

Если решать какую-либо задачу в напряжениях и деформациях, то как и в классической теории упругости надо удовлетворить уравнениям совместности деформаций, которые являются условиями интегрируемости уравнений перемещения - деформации (5) при определении перемещений. По аналогии с классической теорией упругости эти уравнения совпадают с равенствами нулю компонент тензора кривизны пространства, в данном случае четырехмерного. Таким образом, уравнения совместности деформаций имеют вид:

 

                         R_jklm = 0                                                                 

       R_jklm = e_jm,kl + e_kl,jm – e_km,jl – e_jl,km

 

Если решать уравнения теории упругости в перемещениях, то удовлетворять уравнениям совместности деформаций не нужно, они выполняются автоматически. Получившиеся четырехмерные уравнения отличаются от классических уравнений теории упругости дополнительным уравнением относительно t; однако следует отметить, что существенно изменились закон Гука и выражение для энергии, которое имеет вид:

 

  2W = lq² + 2me_abe_ab + (l + 2m)(2qe_tt + e_tt² + 2e_ate_at)                (12)

 

Если сравнить теперь полученные четырехмерные уравнения упругости (9) и закон Гука (11) с калибровочными условиями (1.2.2) уравнений гравитации, то обнаруживается следующая интересная ситуация. Положим в уравнениях упругости константы Ламе удовлетворяющими равенству l = -m, а все уравнения (1.2.2) умножим на m. Условие l = -m означает в теории упругости равенство между собой скоростей продольных и поперечных волн в упругой среде. Если теперь ввести в уравнениях (1.2.2) обозначения s_jk = mh_jk, 2e_jk = h_jk, то получится, что уравнения равновесия (9) и закон Гука (11) полностью совпадут с калибровочными условиями (1.2.2), т.е. с калибровочными уравнениями, и с соотношении-

ями, связывающими `h¢_jk  с h_jk. Если далее в уравнениях гравитации положить тензор энергии импульса равным нулю, то уравнения (2.2.1) превратятся в уравнения совместности деформаций четырехмерного пространства и тогда уравнения гравитации полностью совпадут с полученными уравнениями упругости, если в последних, как было сказано, положить l = -m.

Полученное совпадение уравнений говорит о большом сходстве теоретических моделей четырехмерного упругого поля и гравитационного поля. Кроме того, данное совпадение свидетельствует о том, что построенные уравнения упругости находятся в согласии с формальным математическими требованиями, предъявляемыми к уравнениям сплошных сред, поскольку таким требованиям удовлетворяют уравнения гравитации, которые проверялись критически учеными почти столетие. Ставить под сомнение правильность четырехмерных уравнений упругости с точки зрения математики означает ставить под сомнение правильность уравнений гравитации с этой же точки зрения. А математическая правильность последних контролировалась выдающимися математиками столетия. Отметим также, что предложенный метод построения уравнений упругости приводит к единственным уравнениям, что проверяется, например, методом от противного.

Далее представит интерес вид уравнений в случае, если скорость v, входящую в элемент длины четырехмерного пространства, положить равной скорости поперечных волн с₂. Константы к_j в этом случае равны:

 

                  k₁ =k₃ = 2m, k₂ = mc₂²c₁^-2                                  (13)        

 

Уравнения равновесия не изменяются, их вторично приводить не имеет смысла, поэтому приведем закон Гука и выражение для энергии:

 

              s_ab = lJd_ab + 2me_ab + me₄₄d_ab,                       (14)       

         s_at = 2me _at, s_tt = mJ + mс₂²c₁^-2 e_tt

  2W = lq² + 2me_abe_ab + m(2qe_tt + c₂²c₁^-2e_tt² + 2e_ate_at)  

         2e_ab = u_a,_b + u_b,_a, 2e_at = c₂^-1u_a,_t - c₂t,_a, e_tt = -t,_t.

 

Возникает вопрос о физическом, реальном содержании новой компоненты “перемещения” времени t. Если проследить, как входит эта величина в уравнения равновесия, в закон Гука, то выясняется, что деформация времени t_,t  описывает часть динамической деформации плотности вещества тела, т. е. динамическую деформацию расширения-сжатия самого вещества. Эта часть деформации вещества является дополнительной к деформации вещества, определяемой объемной деформацией q    и она похожа на температурную деформацию, аналогично входит в соотношения закона Гука [9]. Но в отличие от той вхождение временной деформации в уравнения определяется не коэффициентом линейного температурного расширения, а параметрами закона Гука. Таким образом, выявляется вполне нормальный и реальный физический смысл компоненты e_tt. Данная

трактовка деформации координаты времени снимает с этой деформации ореол некоторой таинственности, обособленности от остальных пространственных координат, который присутствует в мире науки, и придает ей конкретное земное содержание. Четырехмерная теория упругости перестает иметь смысл какой-то оригинальной теории, а становится нормальной прикладной теорией упругости и не стоит относиться к ней как к таинственной теории.

Если проследить, как входит временная компонента в инерционные члены уравнений равновесия, то увидим, что там появились слагаемые, содержащие t_,at. Учитывая выше полученный физический смысл временной деформации  t_,t, деформации расширения-сжатия вещества, приходим к заключению, что дополнительные слагаемые в силах инерции связаны с потоком плотности вещества по пространственным координатам в процессе динамической деформации. Эти слагаемые соответствуют в физическом понимании первым слагаемым ru_a,_tt, тоже связанными с потоком плотности вещества.

Аналогичный процесс имеет место в уравнении неразрывности, которое переходит в четвертое уравнение равновесия: в этом уравнении появляются дополнительные члены, связанные с динамической деформацией вещества, каковых нет в классической теории. В результате уравнение неразрывности становится действующим в линейном приближении, чего не было в классической теории упругости, где оно тождественно обращалось в нуль.

В заключение обсудим название построенной уточненной динамической теории упругости – четырехмерная теория упругости. Оно автоматически заимствовано из названия четырехмерная теория гравитации, поскольку теория упругости строилась по аналогии с построением теории гравитации. Но, как это не грустно говорить, такое название создает у читателей и у слушателей на докладах по этой теме несколько отталкивающее отношение к эт<