Сумма или объединение событий А и В это событие С, содержащее все исходы, входящие в A и В, и в оба события вместе.

Обозначается как С = А + В или С = A È В.

Например, объединением события А, состоящего в том, что в результате бросания кости выпадет меньше 4 очков, и события В, состоящего в том, что в результате бросания кости выпадет 3 или 6 очков, будет событие А + В, состоящее в том, что в результате бросания кости выпадет 1, 2, 3 или 6 очков.

Произведение событий

Произведением или пересечением событий А и В называется событие С, состоящее из всех исходов, общих для А и В.

Обозначается как С = АВ или С = A Ç В.

Например, пересечением АВ событий А и В из предыдущего примера будет событие, состоящее в том, что в результате бросания кости выпадет 3 очка.

События, которые не могут произойти одновременно, то есть произведение которых равно нулю (АВ = 0), называются несовместными.

Отрицание

Событие А является отрицанием или называется противоположным событию А, если оно содержит все исходы пространства событий, не вошедшие в А. Возвращаясь к рассматриваемому примеру, получим, что отрицание события А состоит в том, что в результате бросания кости выпадет 4, 5 или 6 очков.

Разность

Разностью С = А - В называется событие С, содержащее все исходы А, не входящие в B. В условиях предыдущего примера разностью А - В является событие, состоящее в том, что в результате бросания кости выпадет 1 или 2 очка.

Вероятность события

Каждому элементарному событию A пространства ставится в соответствие числовая мера его правдоподобия, называемая вероятностью этого события Р(А). Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных элементарных исходов к числу всех возможных исключающих друг друга исходов. Здесь A – событие, n – число всех возможных исходов, m – число благоприятных исходов, P(A) – вероятность события А.

События, вероятности которых одинаковы, называются равновероятными. Для равновероятных событий вероятности вычисляются по формуле Р(A) = 1/k, где k – число элементарных событий пространства.

Например, бросание игральной кости приводит к выпадению одной из шести граней. Это шесть элементарных исходов, которые являются равновероятными. Следовательно, вероятность каждого из них равна 1/6.

Свойства вероятности

1. Вероятность любого случайного события неотрицательна и не больше 1. Пусть А – случайное событие и m £ n. Следовательно, 0 £ Р(A)£ 1 для любого события A.

2. Вероятность достоверного события равна единице. Если А – достоверное событие, то m = n

3. Вероятность невозможного события равна нулю. Если А – невозможное событие, то m = 0

 

4. Вероятностью Р(A + В) составного события А + В называется сумма вероятностей элементарных событий (исходов), составляющих A и В:

P(A+B)=P(A)+P(B)

5. Если события A и В несовместны, то в общем случае:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Пример. Какова вероятность того, что наугад вырванный из календаря листок соответствует 30 числу, если в году 365 дней?

Решение. Событие А – на листке календаря число 30. Количество всех возможных исходов n = 365. Количество благоприятных исходов m = 11.

Получаем, что вероятность события А:

Ответ: вероятность того, что вырванный наугад из календаря листок соответствует 30 числу, равна

P (А) = 0,03.

Условная вероятность

Если на событие А влияет исход некоторого события В (произошло ли событие В и с каким именно исходом, наступает или не наступает определенный исход А), речь идет об условной вероятности А при условии В.

Например, если известны доли учеников школы, знающих французский и немецкий языки, а также доля учеников, знающих оба эти языка. То доля учеников, знающих французский язык среди учеников, знающих немецкий язык, на языке теории вероятностей называется условной вероятностью события «знать французский» при условии события «знать немецкий»

Условной вероятностью события А при условии события В называется отношение вероятностей: