Обсуждение: аксиоматические основы теории категорий

Одна из обычных основ теории категорий, благодаря Mac Lane [11], берет в качестве своей
установки язык теории множеств и классов Бернайса–Геделя; это позволяет нам
говорить о двух видах категорий: те, которые малы, т. е. являются множествами, и те, которые являются

8

Это согласуется с идеей Геделя, приведенной в сноске 7.

Типичная Двусмысленность

147

большие, т. е. классы, которые не являются множествами. В таком фундаменте, когда

А и Б - это оба

большие категории, такие как

A = AbGrp и B = Set, нет места, чтобы найти B

Один

,
так как теперь он имеет тип выше, чем классы в смысле языка BG. Таким образом
, часто приходится ограничивать эту конструкцию тем, что

А это мало, так что то

функторы из

A - B - это все множества, А B

Один

это самая большая категория в смысле BG.

Выше показано, что эта проблема не выполняется в ZF

/У

<ω

настройка представлена
здесь. Таким образом, например, мы можем сформулировать лемму Йонеды как естественную эквивалентность
между любой локально ограниченной (т. е., локально малой) категорией

A и набор категорий

Один

,

где

А-это противоположная категория по отношению к А.

Теперь следует заметить, что нам никогда не требовалось больше двух вселенных

У и у...

+

чтобы
позаботиться о двусмысленности в различных примерах 4.1-4.5. Таким образом, мы могли бы
также ограничить теорию частью ZF

/У

<ω

что касается только этого

U

0

и

U

1

.

Можно было бы пойти еще дальше, имея дело только с одной отражающей Вселенной

U, из которых

(аксиоматически) полная Вселенная

V принимается за элементарное расширение, таким образом, с

У лечится как ты

0

и

V как и ты

1

; назовем эту форму теории ZF

/У

0

.

9

Большой

категории имеют в качестве суррогатов подкатегории:

U

0

, и категории функторов для них

просто сидите как устанавливает внутри

В. На первый взгляд это было бы похоже на
предположение Мак-Лейна [12], согласно которому достаточно одной вселенной. Но здесь есть
существенное различие в дальнейшем использовании аксиомы отражения V, чтобы гарантировать, что
нет ничего особенного в выборе Вселенной

U

0

; что касается свойств
, сформулированных в теоретико-множественных терминах, то она неотличима от полной Вселенной. При
этом любое свойство устанавливается для подкатегорий

U

0

удержания всех категорий, в частности

категория Cat и категории функторов 4.4.

На самом деле, идея использования такой теории, как ZF

/У

0

или ZFC

/У

<ω

в качестве основополагающей
основы для теории категорий является старая, которую я впервые разработал в статье
“Теоретико-методологические основы теории категорий” [5].

10

Что такое ЗФ

/У

<ω

, соответственно. ZFC

/У

<ω

,
предоставляет в качестве преимущества возможность более непосредственно объяснить неоднозначность
относительно любой типичной отражательной Вселенной в терминах следующей Вселенной. Адекватность
ЗФК

/У

0

в качестве основы для рабочей теории категорий рассматривались
некоторые известные тестовые случаи, в том числе: (i)Лемма Йонеды, (ii) Теорема о сопряженном Функторе Фрейда
и (iii) функторы Ext

н

в гомологической алгебре. Эти, и другие, должны

быть повторно рассмотрены в качестве тестовых случаев для более гибкой разработки в системе ZFC

/У

<ω

.
В некоторых случаях нам могут понадобиться несколько более сильные гипотезы; например (как ex-

как показано в [5]), оказывается, что теорема расширения Кана требует ранга
типичной Вселенной

U считается строго недоступным кардиналом. Чтобы иметь дело
с такими случаями, нам нужно будет добавить в качестве предположения к нашей базовой системе теории множеств

9

Именно в такой форме типичная двусмысленность теории множеств была представлена в проекте настоящей статьи. То

причины перехода к теории со многими отражательными вселенными приведены ниже.

10

Аналогичное предложение было сделано совсем недавно Ф. А. Мюллером [15], взяв расширение теории
множеств и классов за счет Акермана в качестве базовой структуры; эта система, как известно, может быть интерпретирована в
ZF

/У

0

интерпретируя наборы, чтобы быть членами

U

0

и классы, чтобы быть наборы в

В. Мюллер неверно
утверждает, что моя статья [5] требовала допущения недоступных кардиналов. Критический обзор Андреаса
Бласса из Мюллера (2001) и развитие его связи с моей предыдущей работой см. http://www.ams.org/mathscinet
обзор 2002k: 03008.

148

С. Феферман

что за любым порядковым номером есть строго недоступный кардинал. (Такое предположение
считается безобидным работающими теоретиками множеств.) Предлагаемый фундамент для
теории категорий, приписываемый Гротендику, использует это предположение; под Вселенной
на этом подходе подразумевается любая

В

α

для

α совершенно недоступный кардинал. Но это
основание не объясняет, почему такие вселенные можно считать типичными. Именно
это аксиома отражения V добавляет к подходу Гротендика. Но это полезно
видеть, когда гораздо более слабая система ZFC

/У

<ω

без допущения каких
-либо недостижимых условий достаточно для различных частей развития теории категорий; фактически,
это допущение, по-видимому, редко требуется.

Другая, общая причина для рассмотрения здесь системы с последовательностью
отражательных вселенных, а не одной из них, состояла в том, чтобы показать, как обработка
типичной неоднозначности в теории множеств частично совпадает с теорией типов, рассмотренной
выше в разделе 3.

Есть и другие кандидаты на фундаментальные рамки для теории категорий em-

ploying типичная двусмысленность, которая, казалось бы, имеет некоторые преимущества перед ZF

/У

<ω

С или без AC, особенно в отношении обработки функций. Одна из них-это
форма теории операционных множеств, в которой система расширяется далее переменными для
частичной комбинаторной алгебры над вселенной.

11

Другим является использование одной из систем
явной математики, введенной в [7] и изученной с тех пор в ряде публикаций
. Там за основу берется операциональная структура в виде частичной комбинаторной алгебры на
универсуме всех индивидов. Для того чтобы система такого рода работала, мы
должны были бы расширить формализм символами для типичных отражательных вселенных с
соответствующими аксиомами. Обе обработки позволяют

Б

Один

следует интерпретировать непосредственно как класс
уровня типа 1, а не уровень типа 2. Я провел некоторые эксперименты с обоими
этими подходами, но еще не довел работу до окончательной формы.

8. Попытка иметь свой торт и съесть его тоже:
наивная теория категорий

Как минимум, то, что нужно,-это иметь демонстративно непротиворечивую фундаментальную
структуру T для математически интересных случаев членства в себе, таких как
теория категорий. Но, больше чем последовательность, один хотел бы (как с ЗФ

/У

<ω

)
консервативность над принятой структурой (в этом случае над ZF); все это делается
здесь, хотя и не без некоторой неуклюжести в приложениях. В идеале, то, что
мы ищем-и это не делается здесь—должно обеспечить рамки, соответствующие этим критериям
, в которых такие объекты, как CAT, существуют во Вселенной дискурса и которые таковы
, что

(КОШКА,...) CAT CAT буквально верен, а не переосмысливается в соответствии с контекстом.

11

Смотрите http://math.stanford.edu/ Feferman / papers / Operational State-I. pdf для проекта статьи, содержащего такую
систему. (НОТАБЕНЕ. Теорема 4 (i) стр. 5 нуждается в коррекции.) Кстати, Видхьянат РАО сообщил мне, что
есть некоторые теоремы, которые требуют глобального выбора для их доказательства. Упомянутая здесь система теории операционных множеств
включает в себя оператор глобального выбора.

Типичная Двусмысленность

149

Для обсуждения желательности такого рода основания смотрите мою статью
"категориальные основания и основы теории категорий" [8]. Нам еще предстоит получить
удовлетворительное решение проблемы, поставленной наивной теорией категорий в этой форме.

На первый взгляд, одним из направлений, в котором можно было бы искать такое решение, является использование
теорий, подобных теории Акцеля [1], изложенной в [4], в которой
аксиома основания заменяется аксиомой Антиоснования AFA. Это, безусловно, позволяет много примеров
членства себя, таких как

a ∈ a и (A, b) ∈ a, и так далее, с интересными приложениями

при соответствующей проработке. В Ч. 20 из этой книги есть предлагаемое расширение SEC

0

теории множеств, в которых переменные класса сопряжены, что также допускает некоторые случаи
членства между классами, такие как

A ∈ A и (A, B) ∈ A; grosso modo,
такие утверждения необходимы для рассмотрения видов математических приложений из
теории категорий, рассмотренных здесь. Некоторые из вышеуказанных желаний выполняются этой системой,
а именно системой согласованности относительно ZFC, продолжением которой она является. Но, как
указывают сами авторы, математическая полезность SEC

0

в общем остается

создаваться.

12

Другое направление, в котором такое решение может быть найдено, - это через некоторую форму
стратифицированных теорий, таких как NF Куайна. Хотя это все еще не известно, чтобы быть последовательным,
система NFU с urelements allowed была показана Дженсеном [10], и
он также показал, как она может быть расширена до включения, консервативно, ZFC. Тем не менее,
формализм NFU не так хорош, как он подходит для определения

{x / x-это реляционная структура из

подпись

σ }, где σ-любая указанная сигнатура. Например, если x должен иметь вид

(y, z) с z ⊆ y

2

нам нужно назначить к элементам из

z, которые являются упорядоченными парами,

тот же тип уровня, что и элементы из

y, и таким образом упорядоченные пары элементов множества
должны быть назначены тому же типу уровня, что и элементы этого множества. Ни одно из обычных
определений упорядоченной пары в NFU не работает для этого. Однако можно сформулировать
простое расширение NFUP NFU, в котором спаривание принимается за базовую операцию, а
стратификация модифицируется таким образом, чтобы позволить нам присвоить упорядоченной паре тот же тип
, что и ее члены. Путем адаптации доказательства Дженсена можно установить согласованность
NFUP, и снова можно усилить его, чтобы получить версию его консервативного над ZFC. Я
осуществлено это в неопубликованном МС “некоторые формальные системы для неограниченной теории
структур и категорий " (Аннотация В [6]).

13

Эта система действительно служит для буквальной
проверки примеров, таких как 4.1–4.4. Но у него есть и другие дефекты в качестве предлагаемого основания
наивной теории категорий. Один из них заключается в том, что нет никакого способа, которым можно установить существование
декартова произведения

икс

я

(i ∈ I) коллекции {x

я

|i ∈ I } множеств, начиная с коллекции

должно быть задано функцией

g с g (i) = x

я

для каждого

i ∈ I, а также элементы

декартово произведение

f должен иметь вид (i, f (i)) с f (i) ∈ g(i). Таким образом там

не является ли назначение стратифицированного типа для спаривания, которое позволяет иметь дело с обоими

f и
g одновременно. С другой стороны, нет никакого очевидного способа получить последовательный

12

По словам одного из судей, работа Barwise и Moss на SEC

0

была продолжена
Александру Балтагом в его докторской диссертации, и одна публикация, полученная в результате этого, является [2]. Я не знаю, как это сделать.

это может иметь отношение и к рассматриваемым здесь вопросам.

13

Доказательство использует существование двух недоступных кардиналов, предположение, которое, как было отмечено

выше, рассматривается как безобидный работающими теоретиками множеств.

150

С. Феферман

расширение NFU, позволяющее стратифицировать пары, где члены пары имеют prima
facie смешанный тип.

Как свидетельствует название Спеккера [19], конечно, существует нетривиальная связь проблемы
согласованности для стратифицированных систем с типичной неоднозначностью. Спеккер считал
, что одна из форм типичной неопределенности в STT должна быть задана схемой

(ϕ ↔ ϕ

+

) для всех

предложения

ϕ теории типов; он показал, что NF непротиворечив только в том случае, если STT
непротиворечив, когда дополняется этой схемой. Одним из способов гарантировать это было бы искать
модели теории типов, в которых есть сдвигающий эндоморфизм, который переносит каждый
уровень типа на его последующий уровень, или модель STT, допускающая отрицательные типы, в которых есть
тип сдвигающий автоморфизм. Йенсену удалось использовать идею Спекера в своем доказательстве
непротиворечивости NFU, объединив ее с теоремой Эренфойха–Мостовского
о существовании моделей со многими автоморфизмами. Но даже если консистенция
НФ были созданы через динамик теоремы или альтернативных подхода, НФ
не было бы, как он стоит, давать толкование структурных понятий, необходимых для обеспечения
буквальном самостоятельного членства в смысле такие примеры 4.1–4.4, а также для удовлетворения
дополнительных критериев [8] для простых математических конструкций, таких как, что для
продукта выше.

Подтверждение. Приглашенная лекция для конференции " сто лет Руси-

парадокс Селла, Мюнхенский университет, 2-5 июня 2001 года. Я хочу поблагодарить Godehard Link
за его исключительную работу по организации этой конференции и за его личную помощь в
связи с ней. Я получил полезные комментарии по этому документу от Тима Фернандо,
Godehard Link, Карла-Георга Niebergall и двух анонимных рефери.

Рекомендации

[1]

Аксель, Питер: 1988. Недостаточно Обоснованные Наборы. Stanford: CSLI Publications no. 14.

[2]

Балтаг, Александру: 1998. STS: структурная теория множеств. Достижения в модальной логике 2:
1-34.

[3]

Bartlett, John: 1980. Знакомые цитаты, пятнадцатое издание. Под редакцией Е. М. Бека.
Бостон: Little, Brown and Co.

[4]

Barwise, Jon and Lawrence Moss: 1996. Порочные Круги. Stanford: CSLI Publications
no. 60.

[5]

Feferman, Solomon: 1969. Теоретико-множественное обоснование теории категорий (с
приложением г. Крайзеля). In: M. Barr et al. (ред.), Доклады семинара
III категории Среднего Запада, лекционные заметки по математике 106, 201-247.

[6]

Feferman, Solomon: 1974. Некоторые формальные системы для неограниченной теории структур
и категорий (аннотация). J. Символическая Логика 39: 374-375.

[7]

Feferman, Solomon: 1975. Язык и аксиомы для явной математики. In: J.
Crossley (ed.), Алгебра и логика, лекционные заметки по математике 450, 87-139.

Типичная Двусмысленность

151

[8]

Feferman, Solomon: 1977. Категориальные основания и основы теории категорий.
In: R. E. Butts and J. Хинтикка (ред.), Логика, основы математики и
теории вычислимости, т. I 1, Dordrecht: Reidel, 149-169.

[9]

Gödel, Kurt: 2003. Собрание сочинений, Том IV. переписка а-Г. Под редакцией S.
Feferman et al., Oxford: Oxford Univ. Пресс-центр.

[10] Jensen, Ronald: 1969. По консистенции немного (?) модификация Quine's New

Фундамент. В: D. Davidson and J. Хинтикка (ред.), Слова и возражения: эссе о
работе W. V. O. Quine, Dordrecht: Reidel, 278-291.

[11] Mac Lane, Saunders: 1961. Локально малые категории и основы математики.

In: Infinitistic Methods, Oxford: Pergamon Press, 25-43.

[12] Mac Lane, Saunders: 1969. Одна вселенная как основа для теории категорий. In: M. Barr

и др. (ред.), Доклады семинара III категории Среднего Запада, лекционные заметки по математике
106: 192-200.

[13] Mac Lane, Saunders: 1971. Категории для рабочего математика. Берлин: Спрингер.

[14] Montague, Richard and Robert L. Vaught: 1959. Естественные модели теорий множеств. Funda-

menta Mathematicae 47: 219-242.

[15] Мюллер, Фредерик А.: 2001. Наборы, классы и категории. Британская J. Философия науки

52: 539–573.

[16] Quine, Willard V.: 1937. Новые основы математической логики. Американский Математик-

ical ежемесячно 44: 70-80.

[17] Quine, Willard V.: 1938. О теории типов. J. символической логики 3: 125-139.

[18] Russell, Bertrand: 1908. Математическая логика как основанная на теории типов. Американец

Математический Ежемесячник 30: 222-262. Переиздано в [20]: 150-182.

[19] Спекер, Эрнст: 1962. Типичная двусмысленность. In: E. Nagel et al. (ред.), Логика, Методология

и философия науки тоже. Материалы Международного конгресса 1960 года, Стэнфорд:
Stanford Univ. Пресса, 116-124.

[20] van Heijenoort, Jean (ed.): 1967. От Фреге до Геделя. Исходная книга по математике

Логика, 1879-1931. Cambridge, MA: Harvard Univ. Пресс-центр.

[21] Уайтхед, Альфред Н.и Бертран Рассел: 1925. Principia Mathematica, vol. Я, второй

издание. Cambridge: Cambridge Univ. Пресс-центр.

Факультет математики
Стэнфордский университет
Стэнфорд, Калифорния 94305-2125
США

E-mail: [email protected]