Финитные теории: Микельский и лавин

В работах [29] и [30] Мыцельский представил метод получения для каждой рекурсивно
перечисляемой теории первого порядка

T локально конечная теория FIN (T), как он ее называет, такая, что
T можно перевести(в определенном смысле) в FIN (T). "T является локально конечным" объясняется
через " каждую конечную часть

T имеет конечную модель” ([30]: 59). Таким образом, T локально конечна

если и только если (АФ-

T) или (CAF-T) держит.

30

С уважением к фину(

Т) и переводы

От

T к плавнику (T), предусмотренному

Мычельский, достаточно отметить, что:

- соответствующие аксиомы плавника(

T) результат из аксиом T путем релятивизации их

кванторы к предикатам

я

(

i ∈ N) которые не принадлежат L

Т

- через а

процедура называется " регулярная релятивизация”: если Квантор

Q x (т. е., Q ≡ ∀ или

Q≡ ∃) происходит в области квантора qy в некоторой формуле ψ из L

Т

, и

если

Qy получает релятивизированный к

я

и

Q x to

j

, затем

я...;

29

В этом случае PRA будет объявлена потенциально инфинитив-ной теорией, а не финитной,

хотя.

30

На самом деле, хотя определение Микельского неоднозначно в отношении этих двух чтений, я думаю, что

примеры, с которыми он имеет дело, предполагают, что он предпочитает (AF-

T); в этом случае PRA окажется не локально

конечный.

164

К.-Г. Niebergall

– каждый

это похоже на относительную интерпретацию: это функция отображения формулы

ψ

от Л

Т

к регулярной релятивизации его; таким образом,

является ли функция тождества по атомарным
формулам, она коммутирует с пропозициональными операторами и релятивизирует кванторы
, как упоминалось;

- каждый такой

Карты

T в плавник (T).

Что касается связи между локально конечными теориями и тем, что Микельский принимает за

финитные, есть два замечания в [29, 30], содержащие предикат “finitistic”.
Первый (см. раздел 4.5 из [29]), являющийся комментарием к локально конечному теоретическому
плавнику, выражает позицию, которая, по-видимому, близка к описанной в предыдущем
разделе: она совместима, например, с (D2) и (D2). Представление
микельского, однако, слишком схематично, чтобы определить, что именно он принимает за отношение между
финитными теориями, локально конечными и теми, которые покоятся на потенциальном бесконечном.

31

Второй отрывок взят из [30]: 62: “и ПА, и ПА + (*) [т. е. ПА + РФН[па]]
имеют дело только с конечными объектами и происходят только из нашего опыта с конечными объектами.
Поэтому (Р

1

) и (Р

2

) представляют собой финитную редукцию задачи локального конечного-

Несс ребра(

А) к проблеме согласованности а”. Формулы (P

1

) и (Р

2

) мужчины-

tioned в этой цитате являются “PA

∀F [ПА

(Con (A) → (F имеет конечную модель))]”

и “ПА

+ (∗)

(Con (A) → (F локально конечна))”. Если то, что пишет Мычельский-это

понимается как подразумевающий

PA и PA + RFN[pa] являются финитными теориями

,

это неприемлемо для теоретика доказательства.

32

Кроме того, PA и PA + RFN[pa]
далеко не являются локально конечными, и трудно понять, почему они должны покоиться только на
бесконечном потенциале.

33

Действительно, говоря, что они имеют дело только с конечными объектами и
вытекают из нашего опыта с конечными объектами, Микельский выдвигает новый тип
аргумента для предполагаемого финитистского характера этих теорий. То, что PA и PA +
RFN[pa] делают это, является вполне правдоподобной оценкой; но не ясно, что это дает
основание называть их “финитными”. В конце концов, существуют модели ZF, содержащие только
“натуральные” числа, т. е. конечные объекты; кроме того, не все модели PA или PA +
RFN[pa] содержат только “конечные” числа.

34

Конечно, не нужно цепляться за модель-теорию.

Тем не менее, даже интуитивно кажется, что PA + Con

ЗФ

имеет дело только с конечными объектами (если ZF
непротиворечив); и утверждение, что оно не вытекает из нашего опыта с конечными объектами
, настолько туманно, что вряд ли дает основание отрицать, что PA + Con

ЗФ

это финитизм.

35

31

Кроме того, такие выражения, как “... синтаксически изоморфен...” и, в частности, “... имеет то
же значение, что и... с физикалистской точки зрения”, также остаются необъясненными и неразгаданными в [29, 30].
Это затрудняет понимание и оценку некоторых (предположительно) центральных утверждений Микельского—например
, FIN[ZF] синтаксически изоморфен ZF, и с физикалистской точки зрения теоремы ZF и
их FIN[ZF]-аналоги могут иметь одно и то же значение.

32

Лавин утверждает, что Микельский принимает ПА как конечность; см. [25]: 415.

33

В [30] выражение “потенциально бесконечное” применяется только к теориям.

34

Разговор о стандартной модели должен быть проблематичным для такого преданного Антиплатониста, как Микельский.

35

Если PA + Con

ЗФ

были бы финитными, ZF не только был бы финитно приводимым в смысле определения 1,

но даже быть относительно интерпретируемым в финитной теории; для соответствующего рассуждения см. раздел 3.

Является ли ZF Финитно приводимым?

165

Обратимся тогда к лавину, который в [24] и [25], применяя некоторые
метаматематические результаты Микельского, разработал подход к основам
математики, который имеет некоторое сходство с Микельским, но гораздо более
проработан в философских вопросах. При обсуждении вклада лавина позвольте мне сосредоточиться на
его отличительных особенностях.

Начнем с того, что Лавин утверждает, что оба FIN(ZF) и PRA принадлежат к тому, что он называет
конечной математикой, см. [24]. Он объясняет “конечную математику "следующим образом:" используются только
конечные сущности, и все кванторы в рамках конечной математики имеют конечные
диапазоны” ([25]: 389); “наши обязательства в рамках теории конечной математики
согласуются с утверждением вида ‘существует не более

n объектов ' для некоторых естественных

номер

n “([25]: 394); и” суть конечной математики не в том, что ее теории
не имеют бесконечных моделей, а скорее в том, что ее теории имеют конечные модели " ([25]:
398). Эти утверждения подходят (D1); но они затрудняют понимание того, как FIN(ZF)
и PRA могут быть теориями конечной математики: для этих теорий не существует конечных
моделей. В этот момент, однако, появляется специфическое представление о том, что такое теория
. Обычно, один рассматривает теорию

T как бесконечное множество формул-теорем

выводимый из набора аксиом о том, что

Т, скажем. И, например,” FIN(ZF) “и” PRA "
принимаются за термины, обозначающие такие бесконечные множества. Но не таков Лавин: он рассматривает теории как
нечто развивающееся—возможно, растущее.

36

Кроме того, он должен быть истолкован как
толкование, например, "PRA” не столько как термин-который обозначает или стремится обозначать
набор формул—а скорее как одноместная формула" PRA(

x)” (или: как предикат

"Пра"), что справедливо для этих формул, ср. [25]: 416. Так как всякий раз “пра(

x) "
применяется к формулам, он применяется к фактически представленным, вполне правдоподобно предположить
, что при каждом из его приложений," PRA(

x) " верно только для конечного числа формул—из

конечно, много пра-теорем (если эти слова понимаются как обычно).

37

В конечном счете,
утверждение “FIN(ZF) и PRA принадлежат конечной математике”, таким образом, объясняется как “каждый
конечный подтеорий FIN(ZF) или PRA принадлежит конечной математике”. Но это, в свою очередь,
сводится к тому, что “каждый конечный подтеорий FIN(ZF) или PRA имеет конечную
модель”, если на этом этапе “принадлежит конечной математике” объясняется, как указано выше.
Таким образом, мы вернулись туда, откуда начали: “

T принадлежит конечной математике " определяется

as (CAF-

Т) или, возможно, как (АФ-Т).

На этом этапе неудача (AF-PRA) может рассматриваться как трудность для
утверждения, что PRA принадлежит конечной математике. Лавин, возможно, мог бы быть удовлетворен
(CAF-PRA); но, как я понимаю его, у него есть более смелый ответ на этот вызов:
он рассматривает PRA как схематическую теорию. Итак, одна проблема заключается в том, что, учитывая общее
понимание “схематической теории”, PRA не является таковой. Типичными примерами схематических
теорий являются PA и ZF: их (обычные) системы аксиом включают схемы аксиом -схемы
индукции и схемы аксиом разделения и замены или сбора.

36

Конечно, это старая идея, можно найти, например, в философии Лесневски; кроме того, было также
предложено Mycielski ([30]: 59): “концепция локально конечная теория интересна, только если теория
сама по себе рассматривается как процесс формирования аксиом и теорем, а не как реально бесконечного объекта.
Но этот внутренний взгляд является, конечно, самым естественным взглядом любой теории, в которой доказываются теоремы.”

37

Аналогично для FIN (ZF).

166

К.-Г. Niebergall

Однако PRA просто имеет бесконечно много аксиом, все из которых сформулированы со
свободными переменными, и никакой схемы аксиомы.

38

Может быть, Лавин принимает теорию PRA за дедуктивное закрытие всех закрытых

примеры обычных аксиом PRA.

39

В этом случае PRA будет подмножеством

дедуктивное замыкание пра

С

которая определяется через

АФР

С

: = {ψ / ψ предложение в L

АФР

∧ АФР

ψ}.

Конечно, теория PRA-как обычно понимают этот термин—это не тот же набор,
что и PRA

С

(в отличие от пра, пра

С

не имеет открытых формул в качестве элементов); но одинаково

тривиально, пра и пра

С

содержать и доказывать одни и те же предложения. За вопрос

будь то пра и пра

С

являются ли те же самые теории, однако, релевантны ли пра

и пра

С

докажите те же формулы Изl

АФР

. Теперь, если бы это было так, из-за

АФР

(1), пра

С

(1) будет держаться. Так как (1) - это всего лишь одна формула, то было бы a

конечное подмножество

E пра

С

такие что

Е

(1). Но тогда, согласно (CAF-PRA), E имеет конечную
модель, откуда (1) имеет конечную модель. Но этого не может быть. Если Лавин интерпретирует
“пра " как PRA

С

или его дедуктивное завершение, он просто не имеет дело с теорией пра

как это обычно трактуется.

Если понимать теорию в смысле лавина, то ее можно рассматривать как пример
“бесконечного потенциала". Теперь тема бесконечного потенциала упоминается в нескольких
местах в моей работе, но обсуждение ее все еще отсутствует в ней. Конечно, у меня нет
места, чтобы закрыть этот пробел; но в следующем подразделе я рассмотрю некоторые из
трудностей, которые объясняют “

x потенциально бесконечен” и "T предполагает, что потенциал
бесконечен" должен столкнуться.

2.5. "Потенциал Бесконечен”

Заявление “

а конечен” и” А бесконечен " нашли убедительное и точное множество-

теоретические объяснения.

40

Это не относится к фразам подобного рода “

x-это потенциально

бесконечное” и “

Т предполагает потенциальную бесконечность” (или “Т покоится на потенциально бесконечном”).
Это данность, что есть несколько стереотипов, которые могут послужить объяснения
для них, многие из них принимают Аристотеля “в целом, бесконечное в силу
одно постоянно принимаются за другой—каждая вещь изъяты конечно, но это
всегда один за другого” (см. [1]: Третья 6.206 а) в качестве отправной точки. Но
подобные формулировки далеко не являются точными определениями. То, что это так,
тем хуже, что различие между потенциальным и фактическим бесконечным часто имеет место
рассматривался как имеющий фундаментальное значение и регулярно использовался
в качестве мотивационной основы для дальнейшей философской работы. “

x потенциально бесконечен” и

38

На самом деле, это также имеет место, когда экспликации “

T-это схематическая теория", представленная в работе [5].

Позвольте мне добавить, что я не нашел определения этой фразы в текстах лавина.

39

Это не совсем то, что он делает, но (я думаю) это сводится к тому же самому; ср. [24]: VI.3/4 и IX.6.

40

Есть несколько из них, которые являются

S-доказуемо эквивалентны друг другу, если (теория множеств) S не слишком

слабый.

Является ли ZF Финитно приводимым?

167

“

Т предполагает, что потенциальная бесконечность " слишком неясна, однако, чтобы считаться
приемлемыми конечными точками экспликации; скорее, они сами сильно нуждаются
в ней.

В дальнейшем я просто приму как должное недавние труды философов и
логиков, которые имеют некоторое отношение к теме потенциального бесконечного; и я буду использовать
их в качестве материала для комментариев и дальнейших предположений.

41

Из-за его довольно
явных утверждений Я начинаю с п. Лоренцена. В [26] он представляет пару правил как
средство для получения бесконечного числа объектов

"(1) Начните с I.

(2) Если кто-то достиг x, он должен добавить I к x.”

и продолжает “ " теперь мы можем сразу сказать, что, применяя эти правила, возможно бесконечно много
чисел:для каждого числа x, x I еще нужно построить. Нужно
отдавать себе отчет в том, что здесь утверждается сама возможность [

... ] Это правило позволяет:

построить xI, если x уже был построен [

...] Однако утверждать, что бесконечно много
таких чисел являются реальными, т. е. были бы в действительности построены по этим правилам—это
, конечно, было бы неверно”.

42

Во-первых, следует отметить, что эта цитата не содержит определения-будь то точное

или нет-из “

x потенциально бесконечен”, а "T вообще предполагает потенциальную бесконечность".
Скорее, в ней сформулированы тезисы, которые, обобщая из собственного случая Лоренцена,
потенциальный инфинитив —как я буду называть того, кто принимает предположение о потенциальном бесконечном,
но отвергает предположение о фактическом бесконечном—должен принять. Таким образом, я полагаю, что он
предлагает

(i) применяя правила (1) и (2), бесконечно много натуральных чисел может быть кон-

структурированный,

(i) применяя правила (1) и (2), можно получить бесконечно много натуральных чисел,

но отвергает претензии

(ii) существует бесконечно много натуральных чисел,

(iii) было построено бесконечно много натуральных чисел.

41

Я должен признать, что, учитывая современную концепцию множеств в классической логике, я никогда не понимал
“потенциально бесконечное” таким образом, который давал бы потенциальному бесконечному любое использование—свое собственное место, отличное
от конечного и бесконечного. Мне кажется, что только в интуитивистских рамках предикат
"потенциально бесконечный" может найти разумную рациональную реконструкцию. Таким образом, имея дело с этим дискурсом
, я чувствую себя как бы (Квинейским) лингвистом, разрабатывающим радикальный перевод с иностранного
языка на свой родной.

42

Мой Перевод; оригинал таков “(1) Man fange mit I an.

(2) Ist man zu x gelangt, so füge man
noch x I an” and “Jetzt können wir sofort sagen, daß nach diesen Regeln unendlich viele Zahlen möglich
sind: zu jeder Zahl x ist ja noch x I zu konstruieren. Man muß darauf achten, daß hier nur die Möglichkeit
behauptet wird [

... ] Die Regel ermöglicht xI zu konstruieren, wenn x schon konstruiert ist. [... ] Dagegen
zu behaupten, daß unendlich viele solche Zahlen wirklich seien, also wirklich nach diesen Regeln konstruiert
seien – das wäre natürlich falsch” ([26]: 4).

168

К.-Г. Niebergall

На самом деле, довольно часто встречаются тезисы, содержащие выражение " потенциально infi-

nite " указываются вместо определений для “

x потенциально бесконечен”. Таким образом, из
-за трудностей в поиске таких определений такой подход, как подход Лоренцена, имеет свои
преимущества. На самом деле, не так легко извлечь искомые определения из
тезисов, и тезисы не зависят от предыдущих определений.

Во-вторых, (I) и (III), по-видимому, утверждения о том, что можно—что может
быть сделано по—людски; а выражение “возможно”, происходящие в (я) должен
, наверное, тоже следует понимать в этом смысле, что делает (I) и (I) эквивалентны друг
другу. При таком прочтении отрицание (iii) вполне правдоподобно; и истинно ли
отрицание (i) зависит от точного толкования слова “может”, встречающегося
в нем.

43

Если “

x возможно " не интерпретируется как такое утверждение о конструктивности, однако
(i) и (i) не обязательно должны быть эквивалентны; ибо, конечно, не очевидно, что те сущности
, которые могут быть построены человеческими существами, и те, которые возможны, являются одними и
теми же объектами. Учитывая господствующую концепцию онтологии математических
объектов, в частности, такое отождествление неизбежно потерпит неудачу там—если оно вообще имеет смысл
: числа, например, возможны; но ни одно из них никогда не было и не может
быть построено.

44

Более того, в данном случае отрицание (iii) не дает оснований для

отрицание (ii).

Например, для того, что может быть принято за определение понятия “

x потенциально бесконечен”,
обратимся к статье Дж. Томсона. Следуя Аристотелю, он рассматривает некий делимый
объект и различает " любое конечное число

Н берешь, можно

для того, чтобы вещь была разделена на более чем

n частей “и” возможно, что
вещь можно было бы разделить на большее, чем любое конечное число частей " ([45]: 186).
Эти утверждения предполагают следующую пару определений (давайте напишем “

♦ψ "для того, чтобы" это

возможно, что и так

ψ”):

45

a потенциально бесконечно: ⇐ ⇒ n n (n ∈

Н

→ ♦(a имеет n частей))

46

(D3)

a фактически бесконечен: ⇐ ⇒ z z (♦(a имеет Z частей) ∧ ∀ n (n ∈

Н

→ n ≤ z).

(D4)

Я думаю, что исторически большая часть критики принятия действительно бесконечных объектов
была, в сущности, направлена не против самого их существования, а против обращения с ними как
с естественными или реальными числами. Конечно, это неприемлемо и с современной точки зрения
, что естественное или реальное число

z может удовлетворять “∀n(n ∈

Н

→ n ≤ z))”. Но только если все
” числа", взятые во внимание, являются действительными числами, отсутствие такого
z приводит к результатам. То, что z должно быть натуральным числом, однако, не утверждается в (D4).

47

Таким образом,

43

Конечно, существует хорошо известная общая трудность толкования модальной терминологии.

44

Правильные объекты, которые могут быть построены, - это цифры (маркеры qua).

45

На самом деле, другие распределения модальных операторов в definientia также могут быть правдоподобными. Кроме того,
поскольку объект, вероятно, может быть потенциально/фактически бесконечным по причинам, отличным от наличия многих частей,
следствия справа налево кажутся более подходящими, чем эквивалентности.

46

Это похоже на [26], но есть два важных отличия: во-первых, что их бесконечно много

натуральные числа предполагается в (D3); во-вторых, это совершенно неправдоподобно, чтобы определить “

а потенциально бесконечен”

по “бесконечно много объектов может быть больше, чем

а": т. е. принятие (D3) в качестве definiens основывается на
конкретном понимании “части”. Заметим в этой связи, что немодализованная версия (D3) тесно
связана с аксиомой бесконечности, известной из мереологии.

Является ли ZF Финитно приводимым?

169

развитие теории бесконечных порядковых чисел спасло приверженца
предположения о действительном бесконечном-короче говоря: действительном-инфинитизме —от
приверженности к непоследовательности: путем разработки определений (D4) как

∃z (z-порядковый номер ∧ ♦(a имеет z частей) ∧ ∀ n (n ∈

Н

→ n ≤ z)),

он может утверждать, что на самом деле существуют бесконечные объекты.

Может ли существовать конечный объект

а такой, что (D3) держит за него? Если а-это конкретный объект,
то возможно-так как в этой сфере происходят изменения. Когда речь заходит о чисто математических
объектах

a для которого “наличие частей” имеет значение, определение (D3), (D4) и

“

а бесконечен", однако, кажется эквивалентным. Это так, в частности, когда “A имеет
Z частей "интерпретируется как “a имеет Z элементов “или как”a имеет Z подмножеств". Ибо, учитывая
общее понимание модального разговора применительно к математическим объектам, все, что имеет
место в этой области, обязательно имеет место. Таким образом, если

♦'s стираются в (D3) и

(D4), результирующее определение (D3) подразумевает, что из (D4): в обоих случаях,

а бесконечен;

а еще объект

z, существование которого утверждается в (модификации) (D4), может быть принято

быть

ω.

Это рассуждение связано с общей проблемой для попыток экспликации “

x-это

потенциально бесконечное". Что “

x потенциально бесконечен” - это многозначная фраза, и

предположим, что это не эквивалентно ни тому, ни другому “

x конечен "или “x бесконечен" (что было бы

делать “

x потенциально бесконечен", - сказал он. Теперь рассмотрим произвольное a, которое

это потенциально бесконечно. Является

конечное или бесконечное? По классической логике-что и предполагается

здесь-одна из этих альтернатив должна иметь место.

48

Теперь, если

a конечна, у одного есть a

результат, который даже сильнее, чем тогда

существо потенциально бесконечно; и если а бесконечно, то
дополнительное утверждение, что оно также потенциально бесконечно, не спасает его от бесконечности.
Таким образом, в обоих случаях утверждается, что

а потенциально бесконечен не имеет значения для
того, кто заботится о различении конечного и бесконечного, например, для
того, кто хочет избежать предположений о бесконечности.

До сих пор я высказывал сомнения относительно возможности нетривиальной экспликации

от “

а потенциально бесконечен”. Позвольте мне теперь перейти к теме предположения о
бесконечном потенциале. Как я уже описывал его, потенциальный инфинитив отвергает не только
предположение о бесконечных объектах—таких как множество натуральных чисел—но и
предположение о бесконечном множестве объектов. Но он склонен принимать такие утверждения, как:

iv) существуют только конечные начальные отрезки последовательности натуральных чисел.

49

и

(v) как систематическая парадигма потенциального бесконечного, управляемого правилами не--

можно рассмотреть такие завершающие процедуры, как “всегда-рассчитывая-на”.

50

47

Однако следует признать, что вполне возможно, что a

z такое, что ♦(a имеет Z частей) должно быть a

натуральное число.

48

Эквивалентность этого понятия “

x бесконечен” с "(x конечен) " может быть обеспечен только по определению или некоторыми

слабый неконверсионный набор теоретических принципов.

49

- но не сама эта последовательность.

170

К.-Г. Niebergall

На первый взгляд, однако, есть ссылка на последовательность натуральных чисел

51

в подпункте iv) и к процедуре постоянного учета в подпункте v). Например, предикат " является
конечным начальным отрезком последовательности натуральных чисел” должен быть истинен для некоторого
объекта

а когда (iv) истинно. В этом случае " ∃z (y-конечный начальный сегмент z ∧ z =

последовательность натуральных чисел

) "должно быть истинно для А; и это может быть только тогда, когда
термин “последовательность натуральных чисел” обозначает что—то-как интуитивно, так и,
например, с точки зрения Квинеана. Но поскольку последовательность натуральных чисел
и процедура постоянного подсчета являются бесконечными объектами, мы имеем предположения
о бесконечности-о фактической бесконечности

52

—в этом примере. Кажется, что в самой
формулировке своей позиции потенциальный инфинитив делает предположения о бесконечности
, которых он хотел избежать.

53

Насколько я понимаю, есть два выхода из этого затруднительного положения.

(Первый способ: термины против предикатов) конечно, потенциальный инфинитив должен отклонить
утверждение, что в (iv) мы ссылаемся на последовательность всех натуральных чисел. Таким образом, он мог
бы предложить такое предложение, как

(vi)

∀n (натуральное число (n) → ∃s (последовательность (s) ∧ длина (s) = n

∧ ∀я < Н природно-номер(а(я))))

как парафраз (iv). Отметим, что в подпункте vi) термин “последовательность натуральных чисел”
, встречающийся в формальном парафразе подпункта iv), рассмотренного ранее, был заменен
предикатом “является натуральным числом”. Кроме того, термины, остающиеся в (vi), просто принимают
конечные объекты в качестве их семантических значений. Это также относится к предложению типа (vii) “5
—натуральное число”, которое интуитивно должно быть приемлемым для потенциального инфинитиста.

В некотором смысле, однако, даже (vii) делает предположение о бесконечности; и то же самое делает
(vi). Ибо в предположении Тарскианской (т. е. теоретико-модельной) семантики, если (vii)
истинно, предикат “является натуральным числом” присваивается расширению, которое является множеством
натуральных чисел (или: множеством, играющим роль этого множества в определенной модели подходящей
теории), и это просто бесконечно (с учетом общих предположений). Теперь от этого типа
семантики можно, конечно, отказаться в пользу семантики, содержащей условия
такого рода

” 5-это натуральное число " - это правда

⇐ ⇒ "является натуральным числом" верно для 5

вместо.

54

Тем не менее, даже здесь предикат “есть натуральное число” все еще верен бесконечно

много цифр.

50

Это переводится из статьи unendlich/Unendlichkeit; в [28]: 389. Originally, it is “Als
systematisches Paradigma der potentiellen Unendlichkeit können geregelte, nicht abbrechende Verfahren wie das
‘Immer-weiter-Zählen’ angesehen werden”.

51

Последовательность

s анализируется как набор упорядоченных пар x, y (оба из которых являются натуральными числами в нашем

пример) такое что с

x, y ∈ s и u

52

Я лечу “

а на самом деле бесконечен”, как синоним “а бесконечен”.

53

Смотрите [45]: 186, для аналогичного представления: "бесконечная последовательность [1, 1/2, 1/4,

... ] является математическим
представлением непрерывных (потенциально бесконечных) операций резки.... Но последовательность зим, которые придут
, тем не менее бесконечна, и только в смысле Кантора”.

54

Дополнительные сведения см. в [27].

Является ли ZF Финитно приводимым?

171

(Второй путь: лингвистические и нелингвистические объекты) по аналогии с (IV) и (V) и
Лоренцен претензий, похоже, готовы процедур и правил; и, можно попробовать
избавиться от этих обязательств в сторону только что обсуждали (за счет использования предикатов
“- это так-то и так-то процедура/правило” вместо терминов). Если же, однако, непрекращающаяся
процедура "всегда рассчитывать на" и правила Лоренцена (1) и (2) являются сущностями, то
возникает вопрос о том, какого рода сущностями они являются. Являются ли они бесконечными объектами в этом
случае? Это кажется правдоподобным,

55

в частности, когда правила и процедуры понимаются
как функции-как это типично для математического дискурса: в наших случаях у
нас была бы функция, отображающая каждое натуральное число на его преемника-конечно
, (фактически) бесконечный объект. Конечно, можно было бы ответить, что процедуры и правила
могут быть сформулированы бесконечно много слов; но этот ответ просто небрежно сформулирован. Это
может означать, что эти процедуры и правила являются этими конечными выражениями-позиция
, которую занимает Ф. Вайсман в отношении законов: “на самом деле применяются только такие последовательности
для которых известен конкретный закон построения. В соответствии с таким законом формула
должна быть понята или описание в словах.”

56

Это толкование может соответствовать таким утверждениям
, как (i) и (i), например. Или приведенное выше предположение может означать, что эти конечное
число слов выражают такую процедуру или правило (что ближе к (v)). Однако, для
данной темы, это не важно, правила есть (конечное) выражений, которые
применяются или будут ли они выражены (конечное) выражение; ни в одном случае нет
никаких гарантий, что предположения о бесконечности избегать: конечное выражение может применяться
бесконечно много объектов, и процедура или правило, выраженные конечное выражение
не нужно быть конечным объектам.

В общем, эти два выхода на самом деле не работают: в обоих случаях есть предположения

бесконечности-будь то бесконечные объекты или бесконечно много объектов;

57

будь то путем
интерпретации терминов или путем интерпретации предикатов. Однако, чтобы завершить эту часть, позвольте мне
обсудить окончательный ответ на этот вызов. Это уже было рассмотрено в описании
концепции теорий лавина, которая в двух словах заключается в том, что “[

... ] схемы не
обязывают нас к истине потенциальной бесконечности примеров, а скорее к истине
конечного числа примеров, которые мы действительно приходим призывать [

... ]” ([24]: 260). Аналогично,
если процедура или правило—такое сложение 1—принимается примененным только конечное число
раз, то де-факто получается только конечное число объектов. Кроме того, такой предикат
, как “является натуральным числом”, не должен интерпретироваться как истинный для бесконечного множества
чисел, а только как истинный для тех (конечно, многих) натуральных чисел, к которым он применяется.

Я не знаю, к чему именно сводится этот эскиз и можно ли его
правильно проработать. Формальная (Тарскианская) семантика вдоль ее линий, конечно, отсутствует, и
неясно, может ли она быть развита без допущения бесконечности; но это

55

На самом деле, я предполагал это выше.

56

My translation; the original is “Tatsächlich angewendet werden jedenfalls nur Folgen, für die man ein

bestimmtes Bildungsgesetz kennt. Unter einem solchen Gesetz ist entweder eine Formel zu verstehen [

... ]

oder eine Beschreibung in Worten” ([48]: 119).

57

Я принимаю как должное, что, предполагая существование бесконечного множества объектов, мы делаем предположение

бесконечности-даже если каждая из них конечна.

172

К.-Г. Niebergall

сторонники такого подхода могут быть объявлены излишними.

58

Одна проблема у меня
есть с ним заключается в следующем: как может потенциальный-infinitist выразить, что один и тот
же предикатом—как “натуральное число”—это правда или может быть правдой, конечно
многие объекты фактически применялся и в бесконечно многих объектов
могут быть применены к? Или же это означает, что утверждения типа “ является ли натуральное число
истинным для бесконечного множества объектов” снимаются? Однако в этом случае я не вижу
, чтобы какие—либо предположения о бесконечности—будь то предположения о потенциальной или действительной бесконечности-оставались
неизменными.

59

Чтобы закрыть этот подраздел, позвольте мне быстро разобраться с экспликациями фраз этого типа

“теория

T предполагает (просто) бесконечный потенциал”. На первый взгляд, один, вероятно, будет

как правило, формулы, содержащие “

x потенциально бесконечен " как их экспликантия -например

“

∀x(x / = T

⇒ X потенциально бесконечен) " или " ∃x (x |= T ∧ x потенциально бесконечен)”.

К сожалению, определения с definientia содержащие “

x потенциально бесконечен " бесполезны
до тех пор, пока последняя формула не будет удовлетворительно объяснена. Итак, существуют
теоретико- модельные экспликации “

T предполагает (просто) бесконечный потенциал", который избегает

“

а потенциально бесконечен " в целом. Можно взять “∀x (x / = T

⇒ x конечен) " или

“

∃x (x |= T ∧ x конечен)”.

Эти определения имеют смысл, но, как мы уже видели, они не избегают
тривиальных контрпримеров и, таким образом, не могут быть приняты в качестве объяснений. Для сравнения,
используя (AF-

T) или (CAF-T), поскольку экспликация “T предполагает (просто)
бесконечный потенциал”, безусловно, более сложна, и она имеет более высокий шанс быть интуитивно
убедительной. Тем не менее, в данном случае, “

T предполагает (просто), что потенциал бесконечен” не используется

как средство мотивации и разъяснения принятия (АФ-

Т) или (КАФ-Т) - это как раз
наоборот: направление мотивации скорее перевернуто с ног на голову.
Тем не менее, принимая (CAF-

Т) как экспликация “Т предполагает (просто) бесконечный потенциал " - это
именно то, что мы можем получить в конечном итоге.

Вывод

Вывод из соображений предыдущих разделов: теоретик доказательства, который не делает этого

подпишитесь на (D2) и не хотите возвращаться к анализу Тейта “

S-это финитистская
теория” должен столкнуться с проблемой, что у него нет общей экспликации этой
фразы в его распоряжении. В этой ситуации он вполне может принять (D2) или (D2).

60

Для

58

[24]может быть истолковано как предполагающее нетарскую семантику для схем.

59

Другая идея могла бы состоять в том, чтобы заменить разговоры об объектах разговорами, скажем, о процессах. В заявлении Mycielski

это уже теория

Т " сам по себе рассматривается как процесс формирования аксиом и теорем, а не как фактически
бесконечный объект”, это предположение явно работает. Конечно, этапы этого процесса являются конечными объектами или
процессами или... Но как насчет

Т сам по себе? Она бесконечна-фактически бесконечна. В общем, я думаю, что если процессы

если это то, о чем говорится, они рассматриваются как объекты; таким образом, я не вижу никакой выгоды в таком подходе.

60

Насколько я понимаю лавина, он действительно утверждает, что каждая теория

T, для которого (CAF-T) имеет место, принадлежит конечной
математике; но следует иметь в виду, что оценка лавина основывается на конкретной концепции
теорий.

Является ли ZF Финитно приводимым?

173

он может отклонить критику раздела 2.3 как чисто терминологическую. И
проблема, подразумеваемая в результате Микельского-переводимости ZF в локально
конечную теорию (т. е. в теорию, принадлежащую конечной математике в смысле лавина)
, также не должна беспокоить его: он может рассматривать это отношение как слишком широкое.

Позвольте мне начать с обсуждения второго ответа. На самом деле утверждение, что каждая
теорема ZF имеет аналог в FIN(ZF), может быть истолковано как очень слабое утверждение.
Например, если

n-я теорема ZF сопоставляется с n-й тавтологией “(p ∨ p)

н

"у
нас есть то, что каждая теорема ZF имеет аналог даже в пропозициональной логике. Следует
отметить, однако, что Лавин, вероятно, действительно намеревается, чтобы его коллега-родственник
не был таким тривиальным. Так, в реферате [25] он говорит нам “что " предлагается система конечной
математики, которая обладает всей мощью классической математики”

61

—который

может напомнить нам утверждение Микельского о том, что FIN(ZF) изоморфен ZF.

62

Позвольте мне
отметить, что ни в [29, 30], ни в [24, 25] не содержится обсуждения—не говоря уже о причинах
—уместности их терминологии.

63

По моему мнению, использование
предикатов "изоморфно С” и “имеет ту же силу, что и” для того, что я назвал
“Mycielski-translation” (иметь "нейтральное" выражение), является преувеличением.

64

То, что теоретик доказательства счел бы тревожным, скорее должно быть финитным

сокращение ЗФ. Однако можно показать, что

ZF является доказательством-<