Финитистские Теории: Предыстория

Из соображений, изложенных в предыдущем подразделе, очевидно, что “

S является финитным

сводимый” точно определяется, если “

Т-это финитная теория". Но довольно трудно
дать убедительное объяснение последнего. В оставшейся части этого раздела я рассмотрю
несколько предложений по выполнению этой задачи. Для начала позвольте мне сделать
несколько замечаний относительно нынешнего состояния толкования этого термина. “

S-это finitary

теория " в теории доказательств.

а)”PRA—это финитная теория“, короче говоря:”FIN-PRA " —общепринятая.

b) часто цитируется [44] в качестве основания для оценки того, что PRA является финитным методом

теория.

16

(c) иногда тексты Д. Гильберта берутся для выражения FIN-PRA.

17

d) отсутствие общего и точного определения понятия “

S-это финитарная теория” было согласовано

на.

В принципе, легко закрыть пробел, упомянутый в подпункте d), и сформулировать определение

от “

S-это финитарная теория", которая поддерживает FIN-PRA: один просто берет

S является финитной теорией: ⇐ ⇒ S = PRA.

18

(D?)

С одной стороны, такое определение, насколько мне известно, не было
предложено в соответствующей литературе. С другой стороны, помимо пра и ПА (а
точнее множества его

0
2

- теоремы; см. [22]), я не знаю ни одной теории, которая явно

было заявлено, что это finitary или предел finitary рассуждения.

19

Да будет так: я
рассматриваю (г?) как совершенно неудовлетворительный. Не то, чтобы определения по перечислению чего-то стоят

15

Таким образом, равномерная теоретико-доказательная сводимость также имеет свои проблемы. В свете этих соображений
было бы интересно найти теории, которые слабы в доказательстве утверждений о согласованности, но сильны в
доказательстве относительных утверждений о согласованности. Однако следует помнить, что эта цель не мотивирована основными
концептуальными соображениями.

16

См., например:, [2], [19], [36] и, в частности, [40].

17

Недавний пример см. в [36].

18

Или вместо этого можно было бы, для конечного списка теорий

Т

1

,..., Т

к

, выберите примыкание уравнений

“

S = T

я

- как определенцы.

Является ли ZF Финитно приводимым?

159

что недопустимо;

20

чего здесь не хватает, так это скорее концептуального анализа, который
бы поддержал (D?) или его вариант. В конце концов, нас интересует не просто оговорка,
а экспликация того, что мы имеем в виду. “

S-это финитная теория". И чтобы определить, является ли
предложенное explicans адекватным для explicandum, должно быть разработано некоторое претеоретическое, преформальное
понимание последнего.

В случае с (D?), есть еще одна, более конкретная проблема: это нарушает
принцип, который—в свете отождествления финитистских теорий с теми, кто избегает
предположений о бесконечности-кажется вполне правдоподобным:

Если

S-это финитарная теория, а T ⊆ S, тогда T-это финитарная теория.

21

(P1)

Теперь возникает вопрос о том, чье претеоретическое, преформальное понимание его

должно быть, что имеет значение для определения “

S-это финитная теория". Я полагаю, что первый
ответ-Это Гильберт, отец финитизма. Тем не менее, я думаю, что следует неохотно приписывать
ему ВЗГЛЯД, что PRA является финитной теорией. Начнем с того, что Гильберт попросту не
дал точного определения понятию “

S-это финитарная теория". Несмотря на неясность его работ на
концептуальные темы, кажется совершенно ясным, однако, что как его общая
концепция метаматематики, так и его понимание финитизма изменились
с годами. Таким образом, я согласен, что в [17] и [18] PRA принимается как finitary (см.
[39] для деталей); в [18] то же самое может иметь место даже для PA. Но я сомневаюсь, что это так в
работах Гильберта с 1920-х годов:

22

неограниченными переменными (свободными или связанными) были:

тогда это не допускалось в финитистских рассуждениях.

23

Однако когда речь заходит о правильном понимании
и оценке программы Гильберта, я думаю, что этому периоду следует уделить особое внимание
. Ибо кажется, что его представление в [17] и, в частности, в
[18] было под влиянием взгляда П. Бернейса на основы математики и было,
отчасти, попыткой избежать последствий, которые теоремы неполноты Геделя
, казалось бы, имели для первоначальной формы программы Гильберта.

Если же, однако, цель состоит в том, чтобы развить убедительное представление о том, что такое
финитарная теория, то это может быть аргументировано следующим образом: поскольку собственная формулировка Гильберта
его программы расплывчата и точные интерпретации ее становятся жертвой теорем неполноты Геделя
и аналогичных результатов,

24

нет никакого способа обойти поправки к
первоначальным утверждениям Гильберта-и развить свой собственный, если это возможно более совершенный, вариант финитизма. Еще,

19

В [44] W. W. Tait не только одобряет FIN-PRA, но и утверждает, что универсальное замыкание каждой
теоремы PRA финитно доказуемо. Однако я не думаю, что следует поэтому приписывать
принятие (D?) к нему. Утверждение Тейта о том, что финитные средства не выходят за пределы того, что может быть доказано в PRA
, не исключает того, что подсознания PRA являются финитными и не фиксирует расширение “финитной
теории”, когда речь идет о теориях, которые не сформулированы на арифметических языках.—Когда [44]
интерпретируется таким образом, он не содержит общего определения “

S-это финитная теория", однако.

20

Хотя они вряд ли обеспечивают те общие условия, о которых я прошу.

21

Возможно

T должен быть ограничен рекурсивно перечисляемыми теориями в (P1).

22

Например, отрывки из текстов Гильберта, цитируемые B. Rolf [38] и G. Kreisel [21] в поддержку
их анализа его работы, в основном взяты из [17] и [18]. Но эти авторы не делают различий
между программой Гильберта 1920-х годов и программой Гильберта [17, 18] и, соответственно, считают их интерпретации
правильными и для предыдущего периода.

23

Подробнее об этой интерпретации программы Гильберта см. в [33].

24

См., однако, [34].

160

К.-Г. Niebergall

каков предел такого рода отклонений от оригинала Гильберта? Каковы критерии
для того, чтобы называть позицию, процедуру или теорию “финитными”? Она может быть "Высшей" в
силу того, что точно определена, свободна от логических и метаматематических изъянов – но
ее философская мотивация может быть слабее или утрачена. С этими замечаниями
также рассматривается вопрос о мотивации собственной программы Гильберта. Как я понимаю,
Метаматематика стиля Гильберта М имеет, кратко говоря, следующую роль. В M, согласованность
теорий

Т формализованной математики должно быть установлено.

25

Это делается путем показа

в М, что нет доказательств в

T может заканчиваться, скажем, “0 = 0 ”. Чтобы выполнить эту задачу, М
должен быть абсолютно надежным—он должен содержать только "абсолютные истины" (см. [10]: 35 в
[16]). Такая надежность должна быть гарантирована тем, что при заданной произвольной
конечной строке

s конкретных объектов (например, знаки qua маркеры), M просто содержит отчеты

(например, протокольные предложения) о

s и результаты простых манипуляций на s - таких
как удлинение, укорочение и конкатенация. Именно здесь на
M накладываются финитные ограничения; короче говоря, их роль заключается в обеспечении надежности M.

26

Цель настоящей статьи состоит не в том, чтобы сформулировать адекватную и все еще точную разработку
программы Гильберта в том виде, как она была набросана. В частности, я не буду подвергать сомнению истинность
FINPRA в нем; скорее, меня интересуют неформальные концепции финитизма, лежащие
в основе этого утверждения. Учитывая (b), обсуждение [44] должно быть первым естественным шагом в этом пункте;
фактически, я сделал это в другом месте вместе с М. Ширном.

27

Здесь я буду концентрироваться

по анализам: “

S-это финитарная теория", которая концептуально отличается от теории Тейта, в
частности от тех, которые были предложены в работах Фефермана, Микельского и лавина, и посмотреть
, можно ли их использовать для формулирования общих определений “

S-это финитарная теория".

28

25

Программа Гильберта иногда принимается включать программу консервации в качестве центрального компонента, см.,

например:, [21], [8], [42]. То есть, учитывая финитную теорию

S и произвольной формальной математической теории T, это

сказал, что Гильберт хотел показать:

Если

ψ является реальным предложением и Т

ψ, затем S

ψ.

Если эта интерпретация поддерживается цитатами из собственных текстов Гильберта, обычно цитируется только один отрывок
(из [11], см. [46]: 376): “однако можно утверждать, что [математическая наука] - это аппарат
, который всегда должен давать правильные численные уравнения, когда они применяются к целым числам”. Фактически, аналогичное утверждение
сделано в [12] (см. [46]: 471) и, возможно, еще одно в [13]. Но это менее 10 строк на тему
консервативности в более чем 50 страницах [11, 12, 13]. А в более ранних работах, собранных в [16], есть
нет ни одного предложения, где Гильберт обращается к этой теме. Во всех этих текстах ставится цель показать
непротиворечивость

Т с помощью финитизма всегда находится на переднем плане интересов Гильберта.

Таким образом, статьи Гильберта 1920-х годов не содержат достаточного количества текстуальных свидетельств для атрибуции a

программа консервации для Гильберта. Позвольте мне добавить, что эквивалентность

Консистенция T ’S и здравость T ’s

для

0
1

- предложения (для

0

1

-полная теория

Т) не является аргументом для оценки того, что
Гильберт, в конце концов, преследовал программу консервации, поскольку он был заинтересован в программе согласованности.
Для предиката " будучи заинтересованы в показе

ψ " является, как и другие контексты, касающиеся пропозициональных отношений,

гиперинтенсивный: даже от “

а интересуется (имеет цель, программу) показа ψ “и " log логически

эквивалентный

ϕ", "a заинтересован (имеет цель, программу) показа ϕ"не следует.

26

В некоторых работах по финитизму справедливость осуществляется только в целях надежности, тогда как требование
конечности просто игнорируется. Примером является [22], где предполагается, что каждое предложение, получаемое путем
итерационного добавления определенных правил отражения к PRA, должно быть принято за финитно доказуемое.

27

Смотрите [35]. На самом деле, мы не разделяем общего принятия [44]. Короче говоря, наша жалоба состоит в том, что если
бы Тейту удалось показать, что принципы, выдвинутые им в [44], были бы финитно правильными, он
получил бы гораздо больше, чем пра, как предел финитно допустимого.

Является ли ZF Финитно приводимым?

161

Финитные Теории: Феферман

В [6]: 8, пишет Феферман: “[

...] использование классической квантификационной логики в любой

система, содержащая базовые аксиомы (1)

x = 0 и (2)x = y → x = y [...] неявно
требует предположения о завершенном счетном бесконечном.” В более развернутой версии
этого утверждения, появляющейся в [4]: 374, говорится, что любая такая система или теория “[

...]
неявно требует для своего обоснования обращения хотя бы к завершенной бесконечной совокупности
натуральных чисел, то есть к Счетной бесконечности. Более того, мы находим в
([4]: 374): "на первый взгляд, мы имеем следующее [

...] Пра обосновывается на финитарных
основаниях “и в ([6]: 8): "общепризнано, что пра является
конечнопригодной системой, или, точнее, что каждая теорема пра является конечнопригодной.”

Однако, почему должно быть так, что каждая теорема PRA является окончательно обоснованной?
Феферман явно не дает ответа, но в свете только что процитированного отрывка
первое предположение может быть, что это так, потому что для каждой теоремы

ψ of PRA, нет необходимости
апеллировать к “завершенной бесконечной совокупности натуральных чисел”. Это, в свою очередь, может быть
уточнено претензией

Каждая формула

ψ (of L

АФР

) доказуемая в PRA имеет конечную модель.

(AF-PRA)

Но (АФ-пра) - это ложь. Уже конъюнкция формул, упомянутых в приведенной
выше цитате из [6],

x = 0 ∧ (x = y → x = y)

(1)

не может быть удовлетворена в конечной модели. Заметим, что в этом отношении нет никакой разницы
между (1) и его универсальным замыканием (сформулированным в L

(QF-IA)

). Теперь, альтернатива к

(AF-PRA) стоит рассмотреть его версию только для закрытых формул:

Каждое предложение

ψ (of L

АФР

) доказуемая в PRA имеет конечную модель.

(CAF-PRA)

В отличие от (AF-PRA), (CAF-PRA) действительно верно. Кроме того, у нас есть соответствующая
разница между PRA и (QF-IA) (или I

1

) на данном этапе: универсальное закрытие

(1) дает пример для замкнутой теоремы (QF-IA) без конечной модели.

Обобщение от случая PRA к произвольным теориям в языке (первого порядка)

L, один получает за предложение

ψ of L

Fin является окончательно обоснованным: ⇐⇒ ψ имеет конечную модель.

(D1)

Так вот, ФЕФЕРМАН назвал PRA "конечнооправданной системой", потому что каждая из ее теорем
конечнаоправдана, ср. также [44]. Поскольку это утверждение верно при интерпретации
(CAF-PRA), но не при (AF-PRA), я предлагаю абстрагировать следующее определение

28

В этих подходах основная идея заключается в конечных моделях для конечных систем. Остальные два типа точны

экспликации “финитистской теории” я знаю об использовании версий

ω-правило (см., В частности, [44]) и
прогрессии теорий (см. [22]). Для сравнения, первый тип имеет то преимущество, что опирается на утверждения
Гильберта: см. [14, 15]; аналогичные предложения, сделанные им в отношении использования прогрессий, мне неизвестны
.

162

К.-Г. Niebergall

из дела PRA:

T является финитной теорией: ⇒ ⇒ каждое предложение ψ (из L

Т

) доказуемо в

Т

(D2)

это окончательно оправдано.

Обратите внимание, что по (D1), определители (D2) просто

Каждое предложение

ψ (of L

Т

) доказуемо в

T имеет конечную модель

(CAF-

Т)

Кроме того, D2) явно имеет своим следствием (P1).

Позвольте мне упомянуть, что Феферман прямо не заявил, что все теории

Т который

удовлетворяйте (CAF-

Т) являются финитными. Но так как я не нахожу никакого другого общего объяснения этого явления

“

В его работах (или, за исключением Тейта, в
трудах других теоретиков доказательства) я, тем не менее, продолжу обсуждение вышеприведенных определений.
Теперь, с (D1) я согласен; ибо это вполне правдоподобно объяснить “

ψ не делает

предположения о бесконечности " by “

ψ имеет конечные модели”. Однако выбор “ψ имеет только конечные
модели " в качестве экспликантов вместо этого должен быть отклонен. Такое объяснение
привело бы к неприемлемому результату, что, например, логические истины первого порядка-логики
-делали бы предположения о бесконечности (поскольку они имеют бесконечные модели). Кроме того, если
(P1) принимается, это будет означать, что никакая конечно аксиоматизированная теория, сформулированная на
языке первого порядка, не может быть финитной. Таким образом, окончательно обоснованное предложение также
будет иметь бесконечные модели.

D2) однако, как представляется, это весьма проблематично. Критика, которая сразу
приходит на ум, заключается в том, что есть теории, объявленные финитными (D2), которые
вообще не имеют конечных моделей. PRA является примером, и другие будут играть важную роль ниже
(см. раздел 3). Кроме того, существуют теории такого рода, которые даже в некотором
смысле парадигматичны для принятия допущений о бесконечности: возьмем, например,

Т

1

:= {∃

≥северный

| n ∈ ω} - сформулировано на языке первого порядка L

1

содержащий только

идентификационный знак, где

∃

≥северный

должно быть предложение удовлетворено только в моделях С по меньшей мере

n элементов; и

Т

2

: = теория первого порядка атомарных булевых алгебр, расширенная на {∃

≥северный

At / n ∈

ω} - сформулированный в языке первого порядка L

2

с “

≤ "и"=", где ∃

≥северный

Ат будет

предложение удовлетворяется только в моделях С по крайней мере

N атомов.

Т

1

и

Т

2

оба являются финитными в смысле (D2), но ни один из них не имеет конечного

Модели. В дополнение,

Т

1

является ли теория в L

1

это имеет только бесконечные модели: если есть

любая теория в L

1

имея только бесконечные модели, он должен содержать

Т

1

- откуда это должно быть?

идентично с

Т

1

(с

Т

1

является полным на своем языке). Аналогично,

Т

2

есть ли теория в

Л

2

имея только бесконечные модели, которые расширяют теорию первого порядка атомарного Булева

алгебры.

Кроме того, по моему мнению, совершенно неправдоподобно, что PRA должна быть “окончательно
обоснована”, тогда как (QF-IA) должна требовать “завершенной бесконечной совокупности
натуральных чисел”. Конечно, теоремы логики предикатов первого порядка истинны в каждой
(непустой) области: они не являются трансфинитными аксиомами (используя несчастливую
терминологию Гильберта) в том смысле, что они потребовали бы бесконечных областей для своей истинности. Поскольку (QF-IA)
вытекает из PRA просто путем наложения на него логики первого порядка и, исходя из предположения,

Является ли ZF Финитно приводимым?

163

PRA также не требует “завершенной бесконечной совокупности натуральных чисел”, кажется
странным, что (QF-IA) должен делать это. Она также может показаться вряд ли логично, что пра должны быть
finitistic или потенциально infinitistic, но и теорий, таких как теория плотных линейных
порядков без конечных точек (ДЛО) и вопрос—что интуитивно и с точки зрения
обе относительной интерпретируемости и доказательства-теоретические сводимость намного слабее
, чем пра—не так (с (ОСО-ДЛО) и (КАФ-М) являются ложными). Однако следует
иметь в виду тот факт, что все упомянутые теории являются финитно сводимыми.

Конечно, в этих соображениях я просто сообщаю то, что я рассматриваю как напряженность между

первое, грубое интуитивное понимание того, что “

S является финитным” и его определение (D2). Имеют ли
они отношение к идеям Фефермана или нет, трудно решить, так как ни один анализ,
например, “неявно требует предположения о завершенном счетном счете”, не приводится
в [4, 6]. В некоторой степени критика, выдвигаемая здесь, носит терминологический характер; соответственно,
ей можно противопоставить изменение терминологии. Поскольку в отрывках, цитируемых из
[4, 6] (и некоторых других), есть указания на тему бесконечного потенциала,
Феферман может принять такое определение, как

T-потенциально инфинитивная теория: ⇒ ⇒ каждое предложение ψ (из L

Т

) доказуемый

(D2)

в

Т является окончательно обоснованным.

29

Однако я отложу более подробное обсуждение того, как понимать “потенциал

бесконечность " и дальнейшая критика (CAF-

Т) к разделам 2.5 и 3.