Системы линейных уравнений. Общая теория

Системы линейных уравнений

 

Обратимся к изучений системы линейных дифференциальных уравнений

 

 (3.1.1)

 

Система (3.1.1) называется однородной, если ¦ _i (x) = 0 (i = 1, …, n) в противном случае - неоднородной. Будем предполагать a_ik(x) и ¦_i(x) непрерывными на интервале X. Как было доказано выше, при этих условиях на Х существует единственное решение системы (3.1.1), удовлетворяющее начальному условию

_i(x₀) = , i = 1, …, n. (3.1.2)

 

Для системы уравнений справедливы теоремы, аналогичные тем, которые были доказаны для одного уравнения n-го порядка.

Общие свойства системы линейных уравнений. Обратимся системе (3.1.1). Обозначим через у, ¦ и y⁰ столбцы

 

 

 

а через А (х) обозначим (n ´ n) - матрицу с элементами а_ij(х):

 

 

Тогда систему (3.1.1) можно записать в виде одного уравнения

' = A (x) y + f {x), (3.1.3)

 

точно так же, как и начальные условия

 (x₀) = y⁰. (3.1.4)

 

Пользуясь правилом умножения 4°, правилом сложения3° иправилом равенства матриц 2°, нетрудно убедиться в том, что (3.1.3) и (3.1.4) то же самое, что и (3.1.1) и (3.1.2).

В силу свойств умножения и дифференцирования матриц для дифференцируемых столбцов имеет место тождество, в котором a_i - постоянные числа,

 

 (3.1.5)

 

выражающее свойство линейности оператора y¢ - Ay º L[y] на множестве дифференцируемых столбцов.

Здесь и в дальнейшем для нумерации столбцов будем употреблять индекс, заключенный в круглые скобки, оставляя индекс без скобок для обозначения элементов (компонент).

Непосредственным следствием этого тождества является принцип суперпозиции.

Теорема 3.1.1. Пусть в уравнении (3.1.3) f (x) является линейной комбинацией f _(i)(х),т.е.

 

 

где a_i - постоянные числа, и пусть y_(i)(x)является решением уравненияy'_(i) = A(x) y_(i) + f _(i).

Тогда линейная комбинация y_(i) (x) с теми же коэффициентамиa_i, т.е. столбец у (х) = ,является решением уравнения (3.1.3).

Имеют также место теоремы, аналогичные теоремам 1.4-1.6.

Однородное уравнение. Рассмотрим более детально однородное уравнение

 

у ' = А (х) у. (3.1.6)

 

Пусть имеется п столбцов

 

 

Составим из этих столбцов матрицу W(x):

 

 (3.1.7)

 

Сопоставим уравнению (3.1.6), правая и левая части которого - столбцы, аналогичное уравнение

¢ = A (x) W, (3.1.8)

 

правая и левая части которого - матрицы размерности (n ´ n)и в котором неизвестной является матрица W(x).

Теорема 3.1.2. Пусть y₍₁₎,..., у_(n) есть n решений уравнения (3.1.6). Тогда (n ´ n) - матрица W(x), образованная из них по формуле (3.1.7), является решением матричного уравнения (3.1.8).

Обратно: если W(x) является решением уравнения (3.1.8), то каждый столбец матрицы W(x) является решением уравнения (3.1.6).

Доказательство. Достаточно расписать (3.1.8) и (3.1.6) поэлементно. Действительно, (3.1.8) означает

 

 (3.1.9)

 

или

 

 (3.1.10)

 

 

a (3.1.6) означает

 

 (3.1.11)

 

Поэтому если у_(j) являются решениями (3.1.6), то каждое у_(j) удовлетворяет (3.1.11), т.е. справедливо (3.1.10) или, что то же, (3.1.9), а значит, и (3.1.8), и наоборот, если справедливо (3.1.8), то и (3.1.10), а это в сопоставлении с (3.1.11) означает, что у_(j) (j = 1,..., n) является решением уравнения (3.1.6).

Отметим еще следующие факты, проверяемые столь же просто.

Теорема 3.1.3. Если W(x) - решение уравнения (3.1.8), то выражение WB является решением уравнения (3.1.6), если В - произвольный постоянный столбец, и решением уравнения (3.1.8), если В - произвольная постоянная (n ´ n) - матрица.

Определение. Будем говорить, что столбцы u_(i),..., u_(р) линейно зависимы на интервале X, если существуют постоянные C₁,..., С_р, не все равные нулю, такие, что имеет место тождество

 

 (3.1.12)

 

Если же (3.1.12) выполняется только при C₁ =... = С_р = 0, то будем говорить, что u₍₁₎, …, u_(p) линейно независимы.

Рассмотрим n дифференцируемых столбцов у₍₁₎,..., у_(n). Запишем для них равенство (3.1.12):

 

 

 (3.1.13)

 

Введем в рассмотрение постоянный столбец . Пользуясь этим столбцом и матрицей W(x}, составленной из у_(i) по правилу (3.1.7), можно (3.1.13) записать в виде

 = 0. (3.1.14)

 

Так как, согласно правилу матричного исчисления, 2° считается С = 0, если все С_i (i = 1,..., n) равны нулю, то определение линейной зависимости и независимости у_(i), …, y_(n) можно сформулировать следующим образом.

Определение. Будем говорить, что столбцы y₍₁₎,..., y_(n) линейно зависимы на интервале X, если существует постоянный столбец C ¹ 0 такой, что тождественно на Х имеет место (3.1.14).

В противном случае, т.е. если (3.1.14) справедливо только при С = 0, будем говорить, что y₍₁₎,..., y_(n) линейно независимы.

Определение. Назовем ∆(x) = Det W(x) определителем Вронского для y₍₁₎,..., y_(n).

Теперь можно сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам 1.7 - 1.9 из теории уравнения n-го порядка. Все эти доказательства записываются весьма компактно, если пользоваться введенной матричной записью, которая очень удобна и требует лишь некоторого навыка.

Теорема 3.1.4. Если решения y₍₁₎,..., y_(n) уравнения (3.1.6) линейно зависимы на X, то ∆(x) º 0 на X.

Доказательство.

Имеем WC = 0, С ¹ 0. Эта запись является кратким обозначением того факта, что при каждом х величины C₁,..., С_n удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений с определителем ∆ (x), и так как решение нетривиальное, то ∆ (x) = 0 при любом х Î X, т.е. ∆(x} º 0.

Теорема 3.1.5. Если ∆ (x) = 0 хотя бы для одного х₀ Î X, то, решения y₍₁₎,..., y_(n) уравнения (3.1.6) линейно зависимы на Г.

Доказательство.

Запишем кратко доказательство этой теоремы, уже не давая дополнительных разъяснений, как в предыдущей. Возьмем x₀ Î X, и пусть, ∆ (x₀) = 0. Составим уравнение W(x₀) C = 0 относительно С. В силу ∆ (x₀) = 0 существует решение С ¹ О. Положим у (x) = W (x) С. Согласно теореме 3.1.3 это решение уравнения (3.1.6), причем y (x₀) = W (x₀) C = 0, а тогда, в силу теоремы единственности, y (x) º 0 и, таким образом, W (х) С º 0, что, означает линейную зависимость y₍₁₎,..., y_(n).

Теорема 3.1.6. (альтернатива). Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения y₍₁₎,..., y_(n) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, и это означает, что решения y₍₁₎,..., y_(n) линейно независимы.

Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (3.1.6) будем называть n линейно независимых решений y₍₁₎,..., y_(n) уравнения (3.1.6), а соответствующую им по формуле (3.1.7) матрицу W{x) будем называть фундаментальной матрицей.

На основании теоремы 3.1.5. можно дать другое (эквивалентное) определение фундаментальной матрицы.

Определение. Решение W(x) уравнения (3.1.8), для которого ∆(х} отлично от нуля всюду на X, называется фундаментальной матрицей.

Теорема 3.1.7. Линейная однородная система уравнений имеет фундаментальную матрицу.

В силу теоремы 3.1.6. достаточно взять произвольную матрицу а = const с отличным от пуля определителем и задать для W начальное условие W (x₀) = a.

Теорема 3.1.8. Если W (x) - фундаментальная матрица, то любое решение у(х) уравнения (3.1.6) представимо в виде

 (x) = W (x) C, (3.1.15)

 

где С - некоторый постоянный столбец.

Доказательство.

Пусть y (x₀) = y⁰. Определим С уравнением W (x₀) C = у⁰, которое разрешимо в силу ∆ (x₀) ¹ 0. Построим (х) = W (x) C. Так как  (x_о) = W(x₀) C = y⁰, то в силу теоремы единственности у (х) º  (х) = W (x) C, что и требовалось.

Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 3.1.7. и 3.1.8. означают, что, пространство решений уравнения (3.1.6) n-мерно.

Построим решение уравнения (3.1.6), удовлетворяющее условиям (3.1.4), выразив с помощью W (x) величину С через у⁰. Имеем

(x₀) = W (x₀) C = y⁰,

 

откуда

 

С = W^{- 1} (x₀) у⁰

и, следовательно,

 

y (x) = W (x) W^{- 1} (x₀) y⁰.

 

Матрицу Â (х, х₀) = W (х) W^{- 1} (х₀), являющуюся функцией двух переменных х и x₀, назовем импульсной матрицей, или матрицантом. В силу теоремы 3.1.3. Â (х, х₀) как функция х удовлетворяет уравнению (3.1.8). Кроме того, очевидно, что

 

 (х, х₀) = E.

 

Таким образом, справедлива

Теорема 3.1.9. Решение задачи (3.1.6), (3.1.4) имеет вид

 (x) = Â (x, x₀) y⁰, (3.1.16)

 

где матрица Â (х, x₀) удовлетворяет по аргументу х матричному уравнению (3.1.8) и условию Â (х, x₀) = Е.

Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3.1.3).

Теорема 3.1.10. Если W (х) - фундаментальная матрица, а  (х) - частное решение неоднородного уравнения (3.1.3), то любое решение у (х) уравнения (3.1.3) представило в виде

 (x) = W (x) C +  (x), (3.1.17)

 

где С - некоторый постоянный столбец.

Доказательство точно такое же, как в случае уравнения n-го порядка, и мы его опускаем.

Построим частное решение  (х), удовлетворяющее нулевым начальным условиям (x₀) = 0. Будем искать его в виде

 

 (x) = W (x) C (x),

 

где С (x)-неизвестный столбец. Это фактически просто замена переменных. Подставляя  (х) в (3.1.3), получим

 

 

W' C + W C' = AWC + f.

 

Так как W удовлетворяет (3.1.8), то W¢ - AW = 0 и, следовательно, WC' = f. Отсюда C' = W^{- 1} f. А так как  (x₀) = W(x₀) C(x₀) = 0, то С (х₀) = 0 и, следовательно,

 

 

Таким образом,

 

 

и справедлива

Теорема 3.1.11. Частное решение (х)'уравнения (3.1.3), удовлетворяющее условию (х₀) = 0, имеет вид

 

 (3.1.18)

 

где Â (х, x) - импульсная матрица, или матрицант, - решение матричного уравнения (3.1.8), удовлетворяющее условию Â (x, x) = E.

Замечания. 1. Изложенный метод построения частного решения системы линейных уравнений фактически является вариантом метода вариации постоянных, который для одного уравнения использовался в гл. 1. п. 1.1.

2. В силу принципа суперпозиции решение у (х) задачи (3.1.3), (3.1.4) имеет вид

 

 (3.1.19)