Однородное линейное уравнение n-го порядка

 

Обратимся к изучению уравнения

 

, (2.2.1)

 

коэффициенты которого непрерывны на интервале X. Как было показано в предыдущем параграфе, решение начальной задачи существует и единственно на X, чем будем существенно пользоваться ниже.

Определение. Будем говорить, что функции u₁(x), …, u_p(x) линейно зависимы на интервале X, если существуют постоянные С₁, …, С_p не все равные нулю, такие, что имеет место тождество

 

 (2.2.2)

 

В противном случае (т.е. если (2.2.2) выполняется только при С₁ = … = С_p = 0) будем говорить, что u₁(x), …, u_p(x) линейно независимы.

Определение. Назовём детерминант

 

D(x)= (2.2.3)

 

определителем Вронского

Теорема 2.1. Если решения у₁(x), …, у_n(x) уравнения (2.2.1) линейно зависимы на X, то .

В самом деле, согласно (2.2.2) имеем

 

.

 

Продифференцировав это тождество (n-1) раз, получим

 

 

 (2.2.5)

 

При любом  эти соотношения можно рассматривать как систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно С₁, …, С_n, имеющую нетривиальное решение по условию линейной зависимости функций у_i. Следовательно, определитель системы  при любом , т.е. на Х.

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что она справедлива не только для решений уравнения (2.2.1), но для любых (n-1) раз дифференцируемых функций.

Теорема 2.2. Если  хотя бы для одного , то решения у₁(x),…, у_n(x) уравнения (2.2.1) линейно зависимы на X.

Доказательство.

Возьмём точку x = x₀ в которой , и составим систему линейных алгебраических уравнений относительно С₁,…, С_n с определением :

 

 (2.2.6)

 

Так как , то эта система имеет нетривиальное решение С₁, …, С_n. Рассмотрим линейную комбинацию

 

.

 

Согласно теореме 1.4 у(x) является решением уравнения (2.2.1), а (2.2.6) означает, что это решение удовлетворяет в точке x₀ нулевым начальным условиям у(х₀) = 0,…, у^(n-1)(x₀) = 0. Так как тривиальное решение уравнения (2.2.1) удовлетворяет, очевидно, тем же начальным условиям, то, в силу теоремы единственности, у(x) (x)  0, т.е. , где по настроению не все С₁ равны нулю, а это и означает линейную зависимость у₁(x), …, у_n(x).Что и требовалось.

Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующая альтернатива.

Теорема 2.3. Определитель Вронского D(x) либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения у₁(x), …, y_n(x) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке Х, и это означает, что у₁(x), …, y_n(x) линейно независимы.

Ситуацию можно выразить следующей схемой:

 

D(x)=

 

при любом x Х.

Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (2.2.1) будем называть любые n линейно независимых решений уравнения (2.2.1)

Теорема 2.4. Линейное однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство.

Действительно, возьмём произвольный отличный от нуля определитель D⁰ с элементами . Определим решения у₁(x), …, у_n(x) уравнения (1.2.1) следующими начальными условиями:

 

 (4.7)

 

Составим определитель Вронского D(x). В силу (2.2.7) D(x₀) = D⁰ 0. А тогда, в силу теоремы 1.3, у₁(x), …, у_n(x) линейно независимы.

Замечание. Так как существует бесконечно много определителей, отличных от нуля, для каждого уравнения существует бесконечно много фундаментальных систем решений. Кроме того, линейное невырожденное преобразование

 

 

переводит одну фундаментальную систему решений в другую.

Докажем теперь основную теорему данного параграфа.

Теорема 2.5. Если у₁(x), …, у_n(x) - фундаментальная система решений, то любое решение у(x) уравнения (2.2.1) представимо в виде

 

, (2.2.8)

 

где С₁, …, С_n - некоторые постоянные.

Доказательство.

Пусть у(х₀) = у₁⁰, …, у^n-1(х₀) = у_n⁰. Определим постоянные С₁, …, С_n линейной системой уравнений с детерминантом, равным D(х₀)  0:

 

 (2.2.9)

 

и построим . Согласно теореме 1.4. (x) является решением уравнения (2.2.1), а (2.2.9) означает, что это решение удовлетворяет тем же начальным условиям, что и у(x). Тогда, в силу единственности,

 

.Что и требовалось.

Замечание. Формула (2.2.8), где С₁, …, С_n - произвольные постоянные, является общим решением уравнения (2.2.1), т.е. (2.2.8) является формулой, содержащей все решения уравнения (2.2.1) и не содержащей ничего, кроме решений. В самом деле, по теореме 1.4 при любых С₁, …, С_n (2.2.8) является решением уравнения (2.2.1), а согласно только что доказанной теореме в (2.2.8) содержится любое решение уравнения (2.2.1).

Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 2.4 и 2.5 означают, что в пространстве решений линейного однородного уравнения (2.2.1) имеется базис из n элементов, т.е. это пространство n-мерное.