Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2019-08-03 | 518 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения
(18.1)
(здесь ) с начальными условиями
. (18.2)
Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь
. (18.3)
Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде
. (18.4)
Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение
, (18.5)
где (характеристический многочлен); .
Из уравнения (18.5) найдем операторное решение
. (18.6)
Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):
Для задачи Коши в принятых обозначениях можно записать
;
;
.
Операторное уравнение имеет вид
.
разложим операторное решение на простейшие дроби:
.
С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:
.
Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид
.
Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями , где .
Решение. Запишем операторное уравнение
.
Его решение имеет вид
.
Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:
.
Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями, где – ступенчатая импульсная функция.
Решение. Запишем операторное уравнение
и его решение
.
Из теоремы 2 § 16 следует
;
в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)
.
Окончательно,
.
Пример 3. На точку массой т, прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила . В момент времени t точка подверглась удару, несущему импульс . Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.
Решение. Уравнение движения запишем в виде
,
где – упругая сила; – функция Дирака. Решим операторное уравнение
,
где . При
.
Если (случай резонанса), то
.
По теореме запаздывания
.
Окончательно,
Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях . Операторное решение в этом случае имеет вид
.
Пусть весовая функция – оригинал для . тогда по теореме 1 § 16 получим
. (18.7)
Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.
Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию , полагая
(18.8)
где – начальные значения искомого решения .
Как легко видеть, , и следовательно, .
Таким образом, функция – решение уравнения (18.1) с правой частью , полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.
Используя (18.7), найдем и .
Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши
с начальными условиями .
Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), . Тогда , и для определения получим уравнение с однородными начальными условиями.
Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен , весовая функция . По формуле Дюамеля
.
Окончательно,
.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид
, (18.9)
где – вектор искомых функций; – вектор правых частей; – матрица коэффициентов; – вектор начальных данных.
Переходя в (18.9) к изображениям, получим операторную систему
, (18.10)
где – Лаплас-образы векторов искомых функций и правых частей соответственно.
Из (18.10) находим операторное решение
, (18.11)
где ; Е – единичная матрица.
Оригинал операторного решения (18.11) является решением исходной задачи Коши (18.9).
Обозначим весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для , где Тогда из (18.11) в соответствии с теоремой 1 § 16 будем иметь
. (18.12)
При нулевых начальных условиях
. (18.13)
Соотношение (18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля.
Пример 5. Найти решение задачи Коши
с начальными условиями .
Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:
,
где . Тогда
;
.
Окончательно, по формуле (18.12) получим
или
Замечание. Формулы (18.12) и (18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системы уравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенности исследуемой задачи.
Пример 6. Решить задачу Коши:
с начальными условиями .
Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь
Запишем решение операторной системы
.
Тогда
.
Приложения
Электрические цепи. Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени определяется двумя величинами: силой тока (током) , проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) на его полюсах. Для каждого двухполюсника функции и связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.
Для сопротивления имеет место закон Ома
,
где – сопротивление двухполюсника.
Для индуктивности справедливо соотношение
,
где – индуктивность двухполюсника.
Для конденсатора выполняется соотношение
,
где С – емкость конденсатора; – начальный заряд на его обкладках.
В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения.
Если ввести операторный ток и операторное напряжение как изображения функций и соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:
.
Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома
,
где операторное сопротивление (импеданс) в случае активного сопротивления, индуктивности и емкости принято в виде соответственно . Величину, обратную , называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.
При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями и имеем ; и , откуда , и следовательно, импеданс цепи . Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами и получим , , , откуда , и следовательно, адмитанс цепи .
Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления , индуктивности и емкости , шунтированной сопротивлением , то ее импеданс .
Если электрическая цепь с адмитансом включена на эдс , то операторный ток в ней определяется соотношением , .
Как правило, операторная проводимость цепи представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости , что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.
Если эдс является ограниченной функцией времени, то полюсы функции имеют неотрицательные вещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), по истечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим, при котором ток
,
где ; – чисто мнимые полюсы функции с положительными мнимыми частями; – мнимая единица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция не имеет кратных полюсов.
Представим эдс тригонометрическим рядом Фурье . Тогда
;
; ,
следовательно,
.
Положим
,
где – амплитуда гармоники с частотой , b k – ее начальная фаза;
; g . Тогда
. (19.1)
Функции и называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) системы.
Будем трактовать функции и , как входной и выходной сигналы соответственно. Из формулы (19.1) следует, что, если на вход системы поступает сигнал с частотой w, амплитудой а и начальной фазой b, то по завершении переходных процессов на выходе формируется сигнал той же частоты w с амплитудой и с фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на величину . Таким образом, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики представляют собой соответственно коэффициент усиления (ослабления) и сдвиг фазы сигнала при его прохождении через систему. То значение w, при котором АЧХ достигает максимума, называется резонансной частотой системы.
Пример. Колебательный контур состоит из последовательно соединенных активного сопротивления , индуктивности и емкости C. Найти резонансную частоту.
Решение. Импеданс контура , его адмитанс . Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно
;
. (19.2)
Из формулы (19.2) следует, что АЧХ достигает наибольшего значения, если .
Таким образом, колебательный контур резонирует на частоту , наибольший коэффициент усиления сигнала равен , сдвиг фазы на резонансной частоте равен нулю.
Расчет длинных электрических линий. Обозначим – удельные сопротивление, индуктивность и емкость провода соответственно; – коэффициент утечки тока; и – ток и напряжение в точке с координатой х в момент времени . Тогда для участка линии между точками х и по известным законам физики будем иметь
;
. (19.3)
Разделив уравнения (19.3) на D х и перейдя к пределу при D х ® 0, получим систему уравнений в частных производных (телеграфную систему) для определения функций и :
;
. (19.4)
Для завершения постановки задачи систему (19.4) необходимо дополнить начальными и краевыми условиями. В задаче включения начальные условия имеют вид
. (19.5)
Далее примем, что правый конец провода заземлен, а на левом его конце поддерживается заданное напряжение . Тогда краевые условия запишутся в виде
, (19.6)
где – длина линии.
Применяя к системе (19.4) преобразование Лапласа по переменной с учетом начальных условий (19.5), получим операторную систему
, (19.7)
где и – изображения напряжения и тока соответственно. Краевые условия (19.6) перейдут в
, (19.8)
где .
Применяя снова преобразование Лапласа, на этот раз по переменной х, вместо (19.7) запишем алгебраическую систему
; , (19.9)
где ; ; ; – параметр преобразования Лапласа по переменной х.
В дальнейшем, чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся исследованием установившегося режима в линии без искажений, т.е. линии, параметры которой удовлетворяют условию .
Решение системы (19.9) для линии без искажений имеет вид
,
где .
Возвратимся к оригиналам:
;
. (19.10)
С помощью второго из краевых условий (19.8) найдем
. (19.11)
Из (19.10) и (19.11) следует, что
;
. (19.12)
При отыскании функций и будем использовать теорему разложения Хевисайда, для чего необходимо найти полюсы изображений (19.12). Нули гиперболического синуса определяются из уравнения , откуда и , Следовательно, нули функции – это числа , расположенные в левой полуплоскости . Поэтому, если – ограниченная функция, то, как следует из (19.12), напряжение и ток в установившемся режиме соответственно
где – чисто мнимые полюсы функции с положительными мнимыми частями.
В частности, если , то , и следовательно, в установившемся режиме
;
.
Примеры для самостоятельного решения
Задание 1. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале [–p, p]:
1. 2.
3. . 4. .
5. 6.
7. 8.
9.
10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21.
22.
23.
24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31.
Задание 2. Разложить в ряд Фурье функции, заданные на интервале :
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9.
10.
11.
12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29 30. =
Указание. Для решения примера 15 воспользоваться формулами [6]
Задание 3. Представить интегралом Фурье следующие функции:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. . 14. . 15. .
16. . 17. . 18. .
Указание. При решении следует воспользоваться формулами
;
;
;
;
;
.
Задание 4. Найти косинус-преобразование Фурье следующих функций:
1. 2. . 3. .
4. . 5. .
Задание 5. Найти синус-преобразование Фурье следующих функций:
1. 2.
3. 4. .
5. . 6. . 7. .
Ответы
Задание 1
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. . 25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
31. .
Задание 2
.
2. .
3. .
4. .
5. . 6. . 7. .
8.
.
9. .
10. . 11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. . 17.
18. . 19. .
20. .
21. .
22. . 23. .
24. . 25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .
Задание 3
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. . 7. .
8. . 9. . 10. .
11. ((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228268']=__lxGc__['s']['_228268']||{'b':{}})['b']['_697691']={'i':__lxGc__.b++};
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!