Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2019-08-03 | 227 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть вещественная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:
, (10.1)
где
. (10.2)
Если в (10.1) выразить и через показательную функцию от мнимого аргумента:
то получим ряд
, (10.3)
где в силу (10.2)
;
;
=
Последние три формулы можно объединить:
. (10.4)
Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.
Пример 1. Разложить функцию , где – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .
Решение. Найдем коэффициенты Фурье:
.
Поскольку , то
,
= .
Искомое разложение будет иметь вид
, (10.5)
где учтено, что
.
Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля
, (10.6)
можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае
;
.
Тогда из (10.6) следует
.
Упражнение 1. Доказать, что
; .
Указание. Положить в (10.5) х = 0 и х = p.
Упражнение 2. Доказать, что при
; .
Глава 2. Интеграл Фурье
Сходимость интеграла Фурье
Пусть функция определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [– L, L ] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:
, (11.1)
где
; (11.2)
– частота k -й гармоники; .
Введя в (11.1) выражения (11.2), получим
. (11.3)
При величина . Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции по переменной w в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при вместо ряда получим интеграл
|
. (11.4)
Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.
Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.
Теорема. Пусть функция , во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке , т.е. интеграл сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (– L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к , т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.
§ 12. Преобразование Фурье
Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим
. (12.1)
Если функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция непрерывна на промежутке . Действительно, так как , то
, (12.2)
и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех , поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, что функция непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).
Из (11.4) получим
. (12.3)
Комплексная функция , определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции . В свою очередь, формула (12.3) определяет как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции . Равенство (12.3) при заданной функции можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции , решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции при заданной дает формула (12.3).
|
В формуле (12.3) выражение задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке и суммарной комплексной амплитудой . Функция называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде
,
можно трактовать, как разложение функции в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке .
Равенства Парсеваля. Пусть и – Фурье-образы вещественных функций и соответственно. Тогда
; (12.4)
, (12.5)
т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем . Заменив функцию ее выражением (12.3) через Фурье-образ , получим
.
В силу (12.1)
.
Поэтому , т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при .
Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать , также является вещественной четной функцией. Действительно,
.
Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,
. (12.6)
Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.
Из (12.6) следует, что функция вещественна и четным образом зависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус.
Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает
= .
Так как и – соответственно четная и нечетная функции переменной w, то
. (12.7)
Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.
Аналогично, если вещественная функция нечетна, то ее преобразование Фурье , где – вещественная нечетная функция от w. При этом
; (12.8)
. (12.9)
Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.
Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции только для . Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке . В этом случае при интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.
Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся» интегралы.
Пример 1. Вычислить интеграл Лапласа .
|
Решение. Найдем Фурье-образ функции где :
.
С помощью формулы обратного преобразования Фурье
получим
или
.
Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому
.
Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле , если .
Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции
получим
;
.
Таким образом,
В частности интеграл Дирихле
.
Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона .
Решение. Сначала вычислим интеграл , применив к функции , где , преобразование Фурье и введя замену
= ;
.
Отсюда , и, следовательно, с заменой можно записать
.
Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы
; .
Упражнение 2. Доказать, что
,
используя равенство Парсеваля.
§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье
Тот факт, что функция является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: .
Свойства преобразования Фурье:
1. Теорема линейности. , где . Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.
2. Теорема подобия. , где . Обозначив , получим
3. Теорема смещения. , где . Введя замену , получим
.
Следствие.
, (13.1)
где . Действительно,
.
4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций и называется функция
.
Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на : .
Так как по определению
,
то, выполнив во внутреннем интеграле замену , получим
=
= = ,
что и требовалось доказать.
5. Теорема об образе производной. Пусть функция и ее производная абсолютно интегрируемы на промежутке . По формуле Ньютона – Лейбница
.
Так как производная интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при . Следовательно, существует конечный предел . При этом , ибо в противном случае функция была бы неинтегрируемой на промежутке . Точно также доказывается, что .
|
Введем в рассмотрение Фурье-образ производной
.
Выполнив интегрирование по частям, получим
.
Так как внеинтегральный член равен нулю, то
.
Таким образом, операции дифференцирования функции соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель . Аналогично, если функция имеет абсолютно интегрируемые производные до n- го порядка включительно, то
, .
Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.
2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.
Пример 1. Доказать, что
, (13.2)
где .
Решение. Положим
Тогда
Таким образом,
,
и по теореме о свертке
.
Пример 2. Найти решение уравнения
(13.3)
при , удовлетворяющее начальному условию
. (13.4)
Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.
Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на , проинтегрируем его по х от до . Тогда
или
, (13.5)
где – Фурье-образ функции .
Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:
.
Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции переменной t, где w – параметр.
Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):
. (13.6)
Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция
.
С помощью (12.3) находим – прообраз функции :
. (13.7)
Последний интеграл в (13.7) равен . Поэтому
.
По теореме о свертке
,
или
. (13.8)
Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.
Пример 3. Найти решение волнового уравнения
, (13.9)
удовлетворяющее начальным условиям
. (13.10)
Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией , физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны – это отклонение струны от ее равновесного положения, функции j(х) и задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа , где и r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики – скорость возмущенного движения в точке в момент времени ; – скорость звука в невозмущенной среде и т.д.
|
Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
где w – параметр.
Решение задачи имеет вид
Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера
(13.11)
Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим
.
Тогда
. (13.12)
При возмущение сохраняет постоянное значение , если переменные и связаны зависимостью: . Иными словами, возмущенное состояние переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью . Поэтому говорят, что функция определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.
Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени есть результат сложения волн и , вышедших в момент времени из точек с координатами и соответственно.
Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:
1. Произвольную функцию можно представить в виде «суммы» гармоник; если задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.
2. В представлении формулы в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию .
3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.
Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!