Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2019-08-03 | 174 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида , где i – мнимая единица, – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .
Скалярным произведением функций назовем комплексное число
,
где – функция, комплексно сопряженная с функцией . свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:
1.
2. билинейность
, .
Доказать свойства 1 и 2 предлагаем самостоятельно.
Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение нормы функции оставим прежним, так что
.
Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:
1. теорема косинусов.
или в более общем виде
. (9.1)
2. Обобщенная теорема Пифагора. Если , то
.
Доказать свойства 1 и 2 следует самостоятельно.
3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции и непрерывны, то .
В самом деле, если , то на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (9.1), где и , имеем
.
Таким образом, , а так как , то , что и требовалось доказать.
Пусть теперь система комплексных функций
(9.2)
ортогональна на промежутке . Сопоставим функции ее ряд Фурье
(9.3)
где коэффициенты Фурье
.
Введем обозначения: – частичная сумма ряда Фурье; – произвольная линейная комбинация функций где .
Тогда, так же, как для вещественных функций (см. § 3), выполняется неравенство
(9.4)
|
где , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. среди всех функций функция дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции .
Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3:
а) если для некоторой функции выполняется равенство Парсеваля
, (9.5)
то ряд (9.3) сходится в среднем к , т.е. ;
б) ортогональная система функций (9.2) называется замкнутой на промежутке , если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из .
Введем в рассмотрение систему комплексных функций
. (9.6)
Свойства системы функции (9.6) следующие:
1. .
2. Функции являются 2 L -периодичными: .
3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке [– L, L ]. Действительно, при
.
Здесь использована формула .
4. .
Ряд Фурье для функции по системе функций (9.6) имеет вид
, (9.7)
где коэффициенты Фурье
. (9.8)
Система функций (9.6) замкнута на [– L, L ] (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:
а) ряд (9.7) сходится в среднем к ,
б) для любой функции из выполняется равенство Парсеваля ,
в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции частичной суммой ее ряда Фурье,
.
Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции удовлетворяют на промежутке [– L, L ] условиям Дирихле, то функция является суммой своего ряда Фурье:
. (9.9)
При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).
Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя .
Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!