Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2019-08-03 | 395 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция называется кусочно-монотонной на промежутке , если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.
Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке , то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.
Теорема Дирихле. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье , если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва ; на концах промежутка , где – односторонние пределы в точке а.
Если доопределить (или переопределить) функцию , полагая в точках разрыва и f (– L) = = на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле
, (6.1)
где коэффициенты по-прежнему определяются формулами (5.3).
Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)
(6.2)
называются гармониками. Введем в рассмотрение величины и , связанные с коэффициентами Фурье и соотношениями и . Тогда гармоника (6.2) запишется в виде , где – амплитуда гармоники; – ее частота; – начальная фаза. Множество частот образует дискретный частотный спектр функции на промежутке [– L, L ]. Формула (6.1) примет вид
, (6.3)
т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.
|
Из равенства Парсеваля (5.4) следует
, (6.4)
где .
Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции на промежутке [– L, L ]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.
В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [– L, L ] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2 L- периодическая функция , которая на промежутке [– L, L ] совпадает с заданной функцией . Функция , определенная указанным образом, называется периодическим продолжением .
Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ], то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.
Замечание. Если функция , заданная для всех , является 2 L- периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию на всей числовой оси. В этом случае можно
получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:
, (6.5)
где с – любое число.
Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция имеет период Т, то интеграл не зависит от а. Действительно,
Выполнив в среднем интеграле замену переменной и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим
Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.
Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах , убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).
Если функция не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции должно входить ее периодическое продолжение .
Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2 L, т.е. .
|
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!