Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-13 | 1111 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
481. Экстремумы функции.
Изучим свойства монотонных функций , заданных и дифференцируемых на интервале .
Утверждение 1. Если функция , дифференцируемая на интервале X, не убывает (не возрастает) на нем, то ее производная на этом интервале неотрицательная (неположительная), т.е. .
Утверждение 2. Если функция , дифференцируемая на интервале X, удовлетворяет на нем условию (), то она возрастает (убывает) на этом интервале.
482. Теорема Ферма.
Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале и в некоторой точке имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке функция имеет локальный минимум или максимум (рис. 1), то касательная в этой точке к графику функции параллельна оси Ox, т. е. угол наклона касательной к оси Ox равен нулю, и .
483. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Определения локального максимума и минимума функции в точке даны выше. Отметим, что эти понятия носят локальный характер в том смысле, что неравенство () должно выполняться лишь в некоторой -окрестности точки . Поэтому функция на заданном множестве Х может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов (рис.1).
Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума), если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство
при . Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.
Пусть функция имеет в точке x 0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке. Тогда, по теореме Ферма, имеем . Таким образом, обращение в нуль производной дифференцируемой функции является необходимым условием экстремума. Значения аргумента x, при которых производная равна нулю, называются стационарными (критическими) точками функции . Только стационарные точки функции могут быть точками возможного экстремума у дифференцируемой функции. Однако не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Например, функция имеет стационарную точку , так как , но эта точка не является точкой экстремума. Поэтому целесообразно найти достаточные условия локального экстремума.
|
Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки . Тогда, если и , то в точке функция имеет строгий локальный максимум; если же и , то в точке функция имеет строгий локальный минимум. Если имеет во всей указанной -окрестности точки за исключением, быть может, самой точки , один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.
Таким образом, если производная меняет знак при переходе через точку , то функция имеет в точке строгий локальный экстремум. Причем, если производная меняет знак с «+» на «–», то точка является точкой максимума, если же с «–» на «+» – точкой минимума.
Упражнение 1. Проверить, что утверждение теоремы 1 сохраняется, если условие «функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки » заменить более слабым условием «функция непрерывна в некоторой -окрестности точки и дифференцируема там за исключением, быть может, самой точки ».
Следствие 1. Пусть функция дифференцируема на , и для некоторых таких, что выполняется условие . Тогда существует точка , такая, что .
Следствие 2 (теорема Дарбу). Пусть функция дифференцируема на и для некоторых : , . Тогда для всякого числа C, такого, что найдется точка , такая, что .
Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть точка есть стационарная точка функции , в которой существует производная . Тогда, если , то точка является точкой строгого локального максимума (минимума) функции .
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!