История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-13 | 409 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пусть функция имеет производную в точке а, т.е. или , или
, (1)
где – бесконечно малая функция при . Поскольку при , то формулу (1) можно записать в виде
. (2)
При величина быстрее стремится к нулю, чем h. Если этой величиной пренебречь, то получим следующую приближенную формулу:
. (3)
В общем случае сформулируем задачу так: найти многочлен n- ой степени такой, чтобы имело место равенство
.
Если эту задачу решить, то всякую функцию можно заменить многочленом . Многочлен удобен при исследовании функции. Погрешность такой замены будет мала по сравнению с .
Предположим, что функция имеет в некоторой окрестности точки а производные до порядка n включительно. В этом случае имеет место следующее соотношение:
. (4)
Эта формула носит название формулы Тейлора.
Величину называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано. Имеют место и другие выражения для остаточного члена. В частности, если предположить существование -ой производной в некоторой окрестности точки а, то справедливо равенство
(6)
где – некоторое число, .
Формула (6) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если положить , то формула (4) будет иметь вид
(7)
Если здесь положить , то получим формулу Маклорена:
. (8)
Если в формуле (7) перенести в левую часть и обозначить , то будем иметь
.
Заменяя здесь на и принимая во внимание формулы (3.1), (3.2), получим
. (9)
Таким образом, предполагая, что , по приведенной формуле (9) из бесконечно малого приращения можно выделить не только его главный член – первый дифференциал, но и члены более высокого порядка малости, совпадающие с точностью до факториалов в знаменателях с последовательными дифференциалами .
Разложение элементарных функций
по формуле Тейлора
Полагая в формуле (6.6) получим формулу Маклорена
, (1)
с остаточным членом в форме Лагранжа .
10. Разложение функции . Имеем
.
Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в форме Лагранжа принимает вид
. (2)
При любом фиксированном x остаточный член в ней стремится к нулю, так как .
20. Разложение функции . Имеем
, .
Формула (1) в данном случае принимает вид
, (3)
где при любом фиксированном x остаточный член стремится к нулю при .
30. Разложение функции . Поскольку
, ,
то
. (4)
И в этом случае остаточный член стремится к нулю при
40. Разложение функции . Имеем
.
Следовательно,
,
.
Заметим, что если , то при .
50. Разложение функции , где а – действительное число, n – натуральное число.
Поскольку k- ая производная данной функции
,
то при получаем
.
Значит,
т. е. получаем разложение по биному Ньютона.
Приложения формулы Тейлора
Если в формуле (7.1) отбросить остаточный член, то получим приближенную формулу
, (1)
которая заменяет функцию многочленом n- ой степени.
Качество этой формулы оценивается границами погрешности для остаточного члена , либо порядком малости этой погрешности при , т. е. она записывается в виде .
Например, если , то получаем приближенную формулу
. (2)
Так как в данном случае , то при его можно оценить следующим образом: .
В частности, при будем иметь
.
При и вычислении с пятью десятичными знаками получим , где верны первые четыре знака, так как ошибка округления не превосходит или .
Если , то из равенств (7.3) получим
, (3)
где остаточный член и .
Для функции из формулы (7.4) получаем
(4)
Погрешность приближенной формулы (4) оценивается остаточным членом , для которого .
В частности, для формулы погрешность оценивается неравенством .
Для функции получаем приближенную формулу
, (5)
где остаточный член и при имеет место грубая оценка: .
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!