История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-13 | 336 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
51. Системы линейных алгебраических уравнений.
Системой m линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система вида
(1)
Числа , называются коэффициентами системы, а числа , , – свободными членами.
Если все , , то система называется однородной; если хотя бы один из свободных членов ненулевой, то система (1) называется неоднородной.
Решением системы (1) называется любая упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в каждое уравнение системы (1) на место соответствующих неизвестных, обращает его в тождество. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае – несовместной. Совместная система, имеющая только одно решение (больше, чем одно решение), называется определенной (неопределенной).
Систему (1) можно записать в матричном виде: ,
где − матрица системы,
− матрица-столбец неизвестных;
− матрица-столбец свободных членов.
Используя матрицы-столбцы коэффициентов системы (1), ее можно записать также в виде:
.
Две системы называют эквивалентными или равнозначными, если они имеют одно и то же множество решений. Считаем, что всякие две несовместные системы с одинаковым числом неизвестных – эквивалентны.
Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие:
1) умножение уравнения системы на ненулевое число;
2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число;
3) перестановка местами двух уравнений системы;
4) вычеркивание уравнения, все коэффициенты которого равны нулю.
Утверждение 1. Применение элементарных преобразований приводит к эквивалентной системе.
Матрица называется расширенной матрицей системы (1).
|
52. Теорема 1 (Кронекера-Капелли). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
Следствие 1. Если ранг матрицы системы меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.
Rank (А/b) = rankА
Пример 1. Исследовать на совместность систему
Решение. .
Имеем . Система несовместна, так как rank А не равен матрице расширенной.
53. Формулы Крамера.
(1)
Определителем системы назовем определитель ее матрицы.
Пусть в этом случае система (1) называется невырожденной и ее решение можно найти по формуле
(2)
В формуле (2) заключается метод обратной матрицы решения невырожденной системы вида (1).
Из формулы (2) для нахождения решения системы (1) выводятся формулы Крамера
,
где – определитель, который получается из определителя системы D путем замены j -го столбца на столбец свободных членов.
D – опред. системы
Метод Гаусса.
Распространенным точным методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, который применяется для решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений. Суть метода состоит в том, что посредством элементарных преобразований система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольной или трапециевидной форме (прямой ход метода Гаусса), при помощи которой непосредственно получаются все решения системы (обратный ход метода Гаусса).
На практике прямой ход метода Гаусса как правило применяется не к системе уравнений, а к ее расширенной матрице и формализуется следующим образом:
А). Рассмотрим элемент, стоящий в первой строке и в первом столбце матрицы . Если этот элемент оказался равным нулю, то переставляем строки матрицы таким образом, чтобы в первой строке, в первом столбце оказался ненулевой элемент. Обозначим этот элемент через и назовем его разрешающим на первом шаге. Пересчитаем элементы матрицы по следующим правилам:
|
1) строку, в которой стоит разрешающий элемент, назовем разрешающей; столбец, в котором стоит разрешающий элемент − разрешающим;
2) элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк (на первом шаге только элементы разрешающей строки) остаются неизменными;
3) элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего элемента, обращаются в нули;
4) все остальные элементы матрицы вычисляются согласно следующему правилу прямоугольника. Из четырех элементов матрицы составляется прямоугольник таким образом, что разрешающий элемент и элемент, который пересчитывается, образуют главную диагональ этого прямоугольника. Новое значение пересчитываемого элемента вычисляется как разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Б) В полученной таблице рассмотрим элемент, стоящий во второй строке и втором столбце. Обозначим его через . Будем считать, что выполняется неравенство . В противном случае вторую строку меняем местами со строкой, имеющей больший номер, таким образом, чтобы во второй строке, втором столбце оказался ненулевой элемент. Если во втором столбце и рассматриваемых строках не нашлось ненулевого элемента, то переставляем местами второй столбец и столбец с большим номером таким образом, чтобы элемент, стоящий во второй строке, втором столбце, не был равен нулю. Теперь назовем элемент − разрешающим на этом шаге и пересчитаем элементы матрицы по правилам 1)-4).
В) Применяем правила 1)-4), двигаясь по строкам матрицы вниз, выбирая в качестве разрешающего элемента ненулевой элемент, стоящий на пересечении стоки и столбца с номерами, совпадающими с номером шага. Если в процессе преобразований образуется строка, состоящая из нулей, то эту строку удаляем.
Для выполнения обратного хода метода Гаусса возвращаемся от преобразованной матрицы системы к системе уравнений. При этом, если в процессе прямого хода метода производилась перестановка столбцов, то в системе, соответствующей преобразованной матрице, должно быть выполнено соответствующее переименование переменных.
Если в полученной системе встретится уравнение вида , где , то исходная система несовместна. В противном случае − совместна.
Совместная система после преобразований имеет вид:
|
(1)
где коэффициенты отличны от нуля. Для произвольной системы справедливы неравенства . Неравенство выполняется в тех случаях, когда в процессе прямого хода метода удалялись нулевые строки (т.е. удалялись уравнения вида .)
В процессе обратного хода метода Гаусса находятся все решения системы. Если в системе (1) , то она имеет треугольный вид. Из последнего уравнения находим , из предпоследнего – и т.д. и, наконец, из первого – ,и, тем самым, – единственное решение исходной системы.
Если , то в результате обратного хода r неизвестных можно выразить линейно через остальные неизвестных. Эти r неизвестных называют базисными, а остальные – свободными. В результате получим общее решение системы в виде:
(5)
Чтобы получить какое-нибудь частное решение исходной системы, нужно придать свободным неизвестным некоторые числовые значения. Ясно, что в случае r < п система имеет бесконечное множество решений.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!