Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-12-13 | 372 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
281. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства.
Пусть – линейный оператор в -мерном линейном пространстве , определяемый матрицей порядка .
Собственным вектором данного линейного оператора (матрицы ) называется такой ненулевой вектор , который удовлетворяет
условию
, (1)
причем – действительное число, называемое собственным числом или собственным значением оператора (матрицы ), а называется собственным вектором.
Утверждение 1. Собственные векторы и собственные значения удовлетворяют следующим свойствам:
1) Собственный вектор линейного оператора имеет единственное собственное значение .
2) Если – собственный вектор линейного оператора с собственным значением и , то – также собственный вектор оператора с собственным значением .
3) Если и – линейно независимые собственные векторы линейного оператора с одним и тем же собственным значением , то – также собственный вектор этого оператора с собственным значением .
4) Если и – собственные векторы линейного оператора с различными собственными числами и (), то и – линейно независимы.
Преобразуем уравнение (1), определяющее собственные векторы и собственные числа линейного оператора А, к однородному уравнению.
Из (1) имеем . Поскольку , то отсюда получаем или
. (1’)
282. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы.
Условие при котором система (1’) имеет нетривиальное решение, запишется в виде:
. (2)
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением матрицы А, многочлен – характеристическим многочленом матрицы А, а его корни – характеристическими числами или собственными значениями матрицы А.
Совокупность всех характеристических чисел матрицы А называется ее спектром, причем каждое характеристическое число входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (2).
|
Если характеристическое уравнение (2) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.
283. Приведение матрицы к диагональному виду.
Рассмотрим линейное преобразование линейного пространства V с матрицей А.
Утверждение 1. Матрица А линейного преобразования имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этой матрицы.
Матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует такая невырожденная матрица Т, что матрица .
Матрица Т составляется из собственных векторов матрицы А, записанных по столбцам.
Теорема 1. Матрица А линейного оператора n-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис В этого пространства, состоящий из собственных векторов матрицы А.
Очевидно, что для построения матрицы Т достаточно найти собственные векторы матрицы А.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!