Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-13 | 405 |
5.00
из
|
Заказать работу |
271. Линейные операторы.
Оператор (преобразование) линейного пространства V называется линейным оператором (преобразованием), если для любых векторов x и y из V и каждого действительного числа выполняются условия:
. (1)
Для обозначения линейного оператора вместо f часто используется А.
Отметим, что из условий (1) следует, что
(2)
где и – любые действительные числа.
Простейшим примером линейного оператора А является тождественное преобразование, т.е. , которое каждому вектору ставит в соответствие тот же вектор.
Рассмотрим нетривиальные примеры линейных операторов.
1. Пусть V – n- мерное арифметическое пространство и – квадратная матрица порядка n. Каждому столбцу поставим
в соответствие вектор-столбец . Так определяется оператор .
На основании определения умножения матриц этот оператор является линейным.
2. Пусть в n -мерном линейном пространстве V линейный оператор А переводит базисные векторы соответственно в векторы , т. е. .
Если x – произвольный вектор из этого пространства V, то для , имеем . Тогда
т.е. образ любого вектора можно выразить через образы базисных векторов . Значит, линейный оператор будет вполне определен, если задать образы базисных векторов данного пространства.
272. Матрица линейного оператора.
Пусть А – линейный оператор, переводящий базис соответственно в систему векторов . Каждый из векторов последней системы разлагается по базису:
Матрицу
(3)
i- тый столбец которой состоит из координат вектора , , называют матрицей линейного оператора А в базисе и обозначают А (для матрицы оператора сохраним то же обозначение, что и для линейного оператора).
Ранг r этой матрицы называют рангом линейного оператора,
а число – его дефектом.
Таким образом, каждому линейному оператору n- мерного
линейного пространства соответствует матрица порядка n в данном базисе и обратно, каждой матрице порядка n соответствует линейный оператор (преобразование) n- мерного линейного пространства.
В частности, матрица А тождественного преобразования в любом базисе n- мерного линейного пространства будет единичной порядка n; любой единичной матрице порядка n соответствует тождественное преобразование n- мерного линейного пространства.
273. Действия над линейными операторами.
Каждая квадратная матрица порядка n задает некоторый оператор А n- мерного линейного пространства V и наоборот.
Это обстоятельство позволяет на множестве линейных операторов определить операции, аналогичные операциям на множестве матриц.
Пусть – два линейных оператора. Суммой операторов А и В называют линейный оператор , который каждому вектору ставит в соответствие вектор Если в пространстве V задан базис, то матрица оператора С в заданном базисе равна сумме матриц операторов А и В
в этом базисе.
Произведением линейного оператора на число называют оператор , который каждому вектору ставит в соответствие вектор . Матрица оператора в заданном базисе равна произведению матрицы оператора А на число .
Результат последовательного использования двух линейных операторов , называют их произведением и обозначают (оператор, который выполняется первым, записывают с правой стороны), т.е. Если в пространстве V задать базис и обозначить через А матрицу оператора А, а через В матрицу оператора В в этом базисе, то матрица оператора в том же базисе равна произведению матриц В и А.
Произведение операторов чаще называют композицией или суперпозицией.
274. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.
Пусть в -мерном линейном пространстве заданы два базиса и ; первый из них назовем старым, а второй – новым. Обозначим через линейное преобразование, переводящее базис в .
Утверждение 1. Если – матрица линейного преобразования
в старом базисе , то матрица этого преобразования в новом базисе имеет вид .
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!