Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

3¹. Обратная матрица и ее построение.

Пусть матрица А n≥1, если для матрицы А существует такая матрица А^-1, что произведение А А^-1= А^-1А=Е, то матрица А^-1 называется матрицей обратной для матрицы А.Обратная матрица существует для матрицы А тогда и только тогда, когда матрица А невырождена (определитель не равен нулю)

Обратная матрица определяется посредством равенства

. (5)

Свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1) умножение столбца (строки) матрицы на число, не равное нулю;

2) прибавление к одному столбцу (строке) матрицы другого столбца (строки), умноженного на произвольное число, не равное нулю;

3) перестановка местами двух столбцов (строк) матрицы.

Если матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований, то будем говорить «матрица А эквивалента матрице В»и писать .

Очевидно, что если и , то .

Для построения обратной матрицы можно использовать следующие алгоритмы.

1)Приписать к матрице единичную снизу через черту, располагая их одну под другой. Используя элементарные преобразования только столбцов, привести построенную матрицу к виду, когда над чертой будет стоять единичная матрица. Тогда матрица, полученная под чертой, будет матрицей .

2)Приписать к матрице А справа через черту единичную матрицу, используя элементарные преобразования только строк, привести построенную матрицу к виду, когда на месте матрицы будет стоять единичная матрица, тогда справа от черты получим матрицу .

3². Теорема существования и единственности обратной матрицы.

Теорема ( единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.

Пусть существует матрица , для которой и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где и .

Значит, , что и требовалось доказать.

3³. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим частный случай системы линейных алгебраических уравнений, когда число уравнений равно числу неизвестных:

(1)

Определителем системы назовем определитель ее матрицы.

Пусть . В этом случае система (1) называется невырожденной и ее решение можно найти по формуле

(2)

В формуле (2) заключается метод обратной матрицы решения невырожденной системы вида (1).

 

4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

4¹. Ранг матрицы.

Рассмотрим прямоугольную матрицу вида:

. (1)

Выберем некоторые строк и некоторые столбцов матрицы (1). Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим матрицу. Определитель полученной матрицы называется минором порядка .

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее ненулевого минора.

Для ранга матрицы используют следующие обозначения: или просто , когда ясно, о какой матрице идет речь.

Свойства ранга матрицы:

1) Для матрицы справедливо .

2) Равенство справедливо тогда и только тогда, когда – нулевая матрица.

3) Для квадратной матрицы порядка имеем тогда и только тогда, когда ─ невырожденая.

4) Для любой матрицы справедливо .

Для нахождения ранга матрицы можно использовать метод окаймляющих миноров. Сначала проявляют, если у матрицы ненулевые элементы. Если все элементы матрицы равны 0, то rank этой матрицы равен 0. Если есть ненулевой элемент, то рассматриваются миноры второго порядка, включающий в себя этот ненулевой элемент. Если все эти миноры равны 0, то rank матрицы равен 1. При наличии не нулевого минора второго порядка рассматриваются миноры третьего порядка, включающий этот минор второго порядка. Процесс продолжается до тех пор, пока не станет ясно, что все миноры порядка k+1 равны 0, тогда rank матрицы будет равен k.

4². Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

Удобным для практического применения является следующий способ нахождения ранга матрицы. С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к трапециевидной форме:

.

Ранг матрицы легко находится. Действительно, матрица имеет ненулевой минор порядка , расположенный в левом верхнем углу и равный , а все миноры порядка равны нулю, так как содержат нулевую строку. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы, поэтому ранг исходной матрицы равен рангу матрицы . Таким образом, .

Пример 1. Определить ранг матрицы

.

Решение. Вычтем из четвертого столбца элементы третьего столбца, умноженного на два:

 .

Ранг матрицы равен 3. Значит, . □

 

Утверждение 1. Если матрицу А умножить слева (или справа) на невырожденную матрицу B (С), то ранг полученной матрицы будет равен рангу матрицы A, т.е. (или , если .

Окаймляющим минором для минора порядка матрицы назовем минор порядка этой матрицы, который содержит минор .

Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод окаймляющих миноров, который основывается на следующем факте: если матрица А имеет ненулевой минор порядка и все его окаймляющие миноры равны нулю или не существуют, то ранг матрицы А равен .

Пример 2. Определить ранг матрицы

.

Решение. Ненулевой минор второго порядка этой матрицы . Все окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю. Значит, . □