Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-12 | 292 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
o. Ряд вида
, где а0, а1, а2... называется степенным рядом по степеням x-x0. Если в ряде 1 положить x0=0, То получим …по степени x
o2. Число R>0 называется радиусом сходимости ряда 2, если для всех [x]<R ряд сходится, [x]>R ряд расходится
О2. Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости ряда 2
О3. Множество всех значений х, для которых ряд 2 сходится, область сходимости ряда.
Структуру области сходимости степенного ряда устанавливает теорема Абеля.
1) Если степенной ряд anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|
2) Если же ряд anxn расходится при x=x1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x1|
Область сходимости может иметь 1 из 4 видов:
(-R;R), [-R;R), (-R;R], [-R;R], где R—радиус сходимости, он находится по одной из формул:
-- формула Даламбера
-- формула Коши
Вычислив R, записываем интервал сходимости, если R≠∞, 0, то исследуем степенной ряд при x=-R, x=R
Из т-мы Абеля следует, что для любого степ ряда найдется такое неотриц число, R наз радиусом сх-ти, что при всех x, | x |< R, ряд сх-ся, а при всех x, | x |> R, ряд расходится.
Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|. 2) Если же ряд anxn расходится при x=x1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x1|. (Док-во 1)Так как числовой ряд anx0n сходится, то anx0n=0. Это означает, что числовая последовательность {anx0n} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a0 + a1x0 (x/x0) + a2x02(x2/x02) +…+…= anx0n (x/x0)2. Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a0| + |a1x0 (x/x0) | + |a2x02(x2/x02) | +…+…<= M + M| x/x0| + M| x/x0|2 +…= M(1+q+ q2+…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x0)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x*, | x*|> x1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x*. В том числе должен сходится и при x= x0, так как | x |< | x*|. Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)
|
33. Ряды Тейлора и Маклорена. Если функция f(x) разлагается в ряд по степеням (x - x0), то этот ряд имеет вид: f(x)= f(x0)+ f ’(x0)/1! (x - x0)+ (f ’’(x0) (x - x0)2)/2!+…+ =(f n (x0) (x - x0)n)/n! +…= (f n (x0) (x - x0)n)/n! Степ ряд такого вида наз-ся рядом Тейлора ф-и f(x) в т. x0. Если x0 = 0, то такой ряд наз-ся рядом Маклорена. Теорема: Ряд Тейлора сходится тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при , т.е. для всех значений x из интервала сходимости . Теорема(дост. условие разложения в ряд Тейлора): Если производные любого порядка n=0,1,2… функции f(x) ограничены в некоторой окрестности точки x˳ одним и тем же числом M>0, т.е. , то ряд Тейлора функции f(x) сходится к f(x) для любого x из этой окрестности. Теорема: Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно. Разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена): 1) Находим знач. произв. f(x˳), f’(x˳),… (x˳) для ряда Тейлора и f(0), f’(0),…, (0) для ряда Маклорена. 2) Находим общую формулу для n-ой производной данной функции. 3) Записываем разложения в ряд Тейлора или Маклорена. 4) Находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши.
Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Лагранжа, Коши или Пеано. Остановимся на каждом из представлений немного подробнее.
1) - остаточный член в форме Лагранжа.
2) - остаточный член в форме Коши.
Формула Тейлора применяется при приближенном подсчете значения функции в какой-либо точке, а остаточный член посчитанный в этой точке показывает погрешность вычислений
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!