Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-11-22 | 364 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть - дифференцируемая на интервале функция.
Определение 1. Функция возрастает на тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке этого промежутка.
Определение 2. Функция убывает на тогда и только тогда, когда её производная меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.
Определение 3. Критическими точками функции (первого рода) называются точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Определение 4. Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Тогда: 1. если производная при переходе через точку хо меняет знак с плюса на минус, то точка хо является точкой максимума; 2. если производная при переходе через точку хо меняет знак с минуса на плюс, то точка хо является точкой минимума.
Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции используется следующий алгоритм: 1. Найдите область определения функции. 2. Найдите первую производную функции. 3. Определите критические точки первого рода (f'(xo) =0 или f'(xo) не существует). 4.На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на каждом из получившихся интервалов. (подставить удобное число в производную и вычислить). 5.Выпишите интервалы монотонности. Выпишите точки экстремума функции (если они есть), используя соответствующие критерии, вычислите значения функции в точках экстремума. Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции . Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.
2. Найдем первую производную функции: = . 3. Определим критические точки первого рода (у' =0): =0; х 1=1 или х 2=5. 4. На числовой оси отметим критические точки х 1=1 и х 2=5. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала (-∞;1), (1;5); (5;+∞). Расставим знаки производной функции у' = на каждом из полученных интервалов: при х =0 (-∞;1) у' (0)=5>0; при х =2 (1;5) у' (2)= =-3<0; при х =6 (5;+∞) у' (6)= =5>0.
5. Согласно критерию возрастания и убывания функция возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5]. Согласно критерию нахождения точек экстремума х =1 – точка максимума, х =5 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках: = = = - максимум функции; = = = = = - минимум функции. Ответ: возрастает при х (-∞;1] [5;+∞), убывает при х [1;5]. х =1 – точка максимума; = = ; х =5 – точка минимума; = = .
Определение 5. График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале. Определение 6. График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале. Определение 7. Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба. Функция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости. Так, график функции на рис.1. является выпуклым на промежутках (- ; х 1) и (х 2; + ); вогнутым на (х 1; х 2). График функции имеет две точки перегиба: (х 1; у 1) и (х 2; у 2). Критерий выпуклости-вогнутости функции: если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый; если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.
Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак. Определение 8. Критическими точками функции второго р ода называются те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема: Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку хо меняет знак, то точка графика с абсциссой хо является точкой перегиба. При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба удобно использовать следующий алгоритм: 1. Найдите область определения функции. 2. Найдите первую производную функции . 3. Найдите вторую производную функции . 4. Определите критические точки второго рода ( (xo) =0 или (xo) не существует). 5. На числовой оси отметьте критические точки второго рода и определите знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.(подставить удобное число во вторую производную и вычислить) 6. Найдите интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выпишите абсциссы точек перегиба (если они есть) и найдите значение функции в этих точках. Пример 2. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции . Решение. 1. Данная функция определена на множестве R. 2. Найдем первую производную функции: = . 3. Найдем вторую производную функции: =2 х -6. 4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2 х -6= 0 х =3. 5. На числовой оси отметим критическую точку х =3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2 х -6 на каждом из полученных интервалов: при х =0 (-∞;3) (0)=-6<0; при х =4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.
6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞). Значение х =3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х =3: = =2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба. Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба. Пример 3. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .
Решение. 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: х -7≠0 . 2. Найдем первую производную функции: = = = = . 3. Найдем вторую производную функции: = = = = = . Вынесем в числителе 2∙(х -7) за скобки: = =2∙ = = = = . 4. Определим критические точки второго рода: не может быть равна нулю, поскольку числитель дроби 108≠0. не существует, если (х -7)3=0 - критическая точка второго рода. 5. На числовой оси отметим критическую точку х =7 выколотой точкой, поскольку в этой точке функция не определена. Эта точка разбивает область определения функции на два интервала (-∞;7) и (7;+∞). Расставим знаки второй производной функции = на каждом из полученных интервалов: при х =6 (-∞;7) (6)= <0; при х =8 (7;+∞) (8)= >0.
6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞). Точка с абсциссой х =7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв). Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;7), вогнутый при х (7;+ ∞). |
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!