Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-11-28 | 1089 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема. Если функция в некоторой точке x = x 0 имеет (конечную) производную , то
1) приращение функции может быть представлено в виде
, (3.6)
или, короче, , где a есть величина, зависящая от D x и вместе с ним стремящаяся к нулю, т.е. ;
2) функция в этой точке необходимо непрерывна.
Доказательство. 1) Согласно определению производной, . Пользуясь теоремой, о представлении функции имеющей предел в виде суммы этого предела и бесконечно малой, запишем
, где .
Определяя отсюда D y, придем к формуле (3.6).
2) Чтобы доказать непрерывность функции, рассмотрим выражение (3.6). При D x ®0 сумма в правой части (3.6) обращается в нуль. Следовательно, , или , а это означает, что функция в точке x 0 непрерывна.
Из доказанной теоремы следует, что функция, имеющая производную в данной точке, будет непрерывной в этой точке. Однако непрерывная в данной точке функция не всегда имеет производную в этой точке. Так, в точке x 0 = 1 функция y = | x – 1| является непрерывной, но производной в этой точке не имеет. Это означает, что данное условие является лишь необходимым.
Производная сложной функции
Теорема. Пусть 1) функция v = j (x) имеет в некоторой точке x производную , 2) функция y = f (v) имеет в соответствующей точке v производную Тогда сложная функция у = f (j (x)) в упомянутой точке х также будет иметь производную, равную произведению производных функций f (v) и j (x): [ f (j (x)) ] ' = или короче
(3.7)
Доказательство. Придадим х произвольное приращение Δ х; пусть Δ v – соответствующее приращение функции v = j (x) и, наконец, Δ у – приращение функции y = f (v), вызванное приращением Δ v. Воспользуемся соотношением (3.6), которое, заменяя x на v, перепишем в виде (a зависит от Δ v и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на D x, получим
|
.
Если D x устремить к нулю, то, согласно (3.6) (при условии, что у = v), будет стремиться к нулю и Δ v, а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от Δ v величина a. Следовательно, существует предел
,
который и представляет собой искомую производную .
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.
Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила (3.7). Так, если у = f (u), u = j (v), v = y (x), то
. (3.8)
Примеры. 1. Пусть y = log a sin x,иначе говоря, y = log a v, где v = sin x. По правилу (3.7)
.
2. , т.е. y = eu, u = v 2, v = sin x. По правилу (3.8)
.
1.7. Производная показательно – степенной функции
Пусть u = u (x) > 0 и v = v (x) – функции, имеющие производные в фиксированной точке x. Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя это равенство, получим: ln y = v ln u.
Продифференцируем обе части данного равенства по x:
.
Отсюда , или
. (3.9)
Таким образом, производная показательно – степенной функции состоит из двух слагаемых: первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что и есть функция от х, а v есть постоянная (т.е. рассматривать uv как степенную функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что v есть функция от х, а u = const (т.е. рассматривать uv как показательную функцию).
Примеры. 1. Если y = xtg x, то, полагая u = x, v = tg x,согласно (3.9) имеем
= tg x xtg x – 1 + xtg x ln x sec2 x.
Прием, примененный в данном случае для нахождения производной и состоящий в том, что сначала находят производную логарифма рассматриваемой функции, широко применяется при дифференцировании функций: при отыскании производной функции эти функции сначала логарифмируют, а затем из равенства, полученного после дифференцирования логарифма функции, определяют производную функции. Такая операция называется логарифмическим дифференцированием.
|
2.Требуется найти производную от функции
.
Логарифмируя, находим:
ln y = 2ln(x + 1) + ln(x – 1) – 3 ln(x + 4) – x.
Дифференцируем обе части последнего равенства:
.
Умножая на у и подставляя вместо у, получаем:
.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!