Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-10-09 | 325 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Определение 1. Функция называется первообразной для функции , если
.
Например, есть первообразная для , так как ; есть первообразная для , так как .
Очевидно, если для данной функции существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первообразной для не только , но и , или вообще (где С – любое, С = const), так как .
Можно доказать, что если есть первообразная для , то всякая первообразная для имеет вид , где С = const.
Определение 2. Если функция является первообразной для , то выражение называется неопределенным интегралом от функции и обозначается
.
Итак, если
,
то
.
При этом называется подынтегральной функцией, а выражение – подынтегральным выражением.
Из определения ясно, что неопределенный интеграл представляет собой семейство функцией .
Нетрудно убедиться, в частности, что справедливы равенства:
, ,
.
Из определения 2 непосредственно получаем следующие свойства:
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
(т.е. знаки d и ò в указанном порядке взаимно уничтожаются).
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
(т.е. знаки òи d, когда d стоит после ò также взаимно уничтожаются, но при этом к надо прибавить произвольную постоянную).
Таблица интегралов
Непосредственно из определения 2 и таблицы производных получаем таблицу интегралов. Справедливость приведенных в ней формул легко проверить дифференцированием (т.е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции).
1.
2. ,
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. .
К приведенным выше формулам следует добавить еще правила интегрирования, основанные на свойствах неопределенного интеграла.
Простейшие правила интегрирования
I. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a = const, то
II. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
.
III. Если , то
.
Правила I и II очевидны. Убедимся в справедливости правила III:
Рассмотрим примеры применения правила III.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Основные методы интегрирования
К основным методам интегрирования относятся: непосредственное интегрирование, интегрирование методом подстановки и интегрирование по частям.
Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов путем непосредственного приложения простейших правил интегрирования и табличных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Покажем это на примерах.
1.
.
2.
3.
.
Метод подстановки
Одним из самых эффективных методов приведения неопределенного интеграла к табличному является замена переменной интегрирования. Такой метод называется методом подстановки, или методом замены переменной. Он описывается следующей формулой:
,
где – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Рассмотрим примеры:
Пример 1. Вычислить .
Решение. . Тогда , ;
Пример 2. Вычислить .
Решение. Положим . Тогда . Получаем
.
Пример 3. Вычислить .
Решение. Положим ; тогда , ;
Пример 4. Вычислить .
Решение. Положим ; , ;
Интегрирование по частям
Пусть , – дифференцируемые функции. Тогда
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она непосредственно выводится из формулы .
Рассмотрим примеры:
Пример 1. Вычислить .
Решение. Положим , . Тогда , ;
.
Пример 2. Вычислить .
Решение. Положим , ; тогда , ;
.
Пример 3. Вычислить .
Решение. Положим , ; , ;
В некоторых случаях для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
Пример 4. Вычислить .
Решение. Положим , ; тогда , . Получаем
.
Возникший в правой части равенства интеграл не является табличным, однако видно, что мы на правильном пути – интеграл
проще исходного. К снова применим интегрирование по частям, полагая , ; , . Получаем
.
Подставляя в (*), находим
.
Полезно запомнить следующие типы интегралов, которые удобно интегрировать по частям.
I. | IV. |
II. | V. |
III. | VI. |
Для нахождения интегралов I–III полагают . После n -кратного применения метода интегрирования по частям интеграл сведется к табличному.
В интегралах IV–VI полагают .
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!