Лекция 2. Предел. Непрерывность функции

Здесь мы будем рассматривать упорядоченные переменные величины. Переменная x есть упорядоченная переменная, если известна ее область изменения и для любых двух ее значений известно, какое из них есть предыдущее и какое – последующее.

Определение 1. Число a называется пределом переменной величины x, если для любого (произвольно малого) числа существует такое значение переменной x, что для всех последующих значений выполняется неравенство

 

.

 

Если a есть предел переменной x, то говорят, что x стремится к пределу a, и пишут

 

, или .

 

Пример 1. Переменная величина x принимает следующие значения:

, , ,..., ,...

Легко убедиться, что эта переменная величина стремится к единице. Действительно,

.

Пусть задано . Тогда для всех номеров n, удовлетворяющих условию , будет выполняться неравенство , т.е.

.

В рассмотренном примере переменная величина стремится к пределу, убывая.

 

Пример 2. Переменная величина x последовательно принимает значения

, , ,..., ,...

Эта переменная имеет предел, равный 2. При этом переменная стремится к своему пределу, возрастая.

 

Пример 3. , , , ,..., ,...

Эта переменная стремится к единице, «колеблясь» вокруг своего предела, т.е. принимая значения то больше, то меньше своего предела.

Замечание 1. Постоянную величину c можно рассматривать как переменную, все значения которой одинаковы.

Замечание 2. Не всякая переменная величина имеет предел.

Замечание 3. Можно доказать, что переменная величина не может иметь двух разных пределов.

 

Определение 2. Переменная x стремится к бесконечности, если для любого существует такое значение x, начиная с которого все последующие значения переменной удовлетворяют неравенству

 

. (1)

 

В этом случае пишем .

Если в нашем определении неравенство (1) эквивалентно неравенству , то говорим, что x «стремится к плюс бесконечности», и пишем ; если же неравенство (1) эквивалентно неравенству , то говорим, что x «стремится к минус бесконечности», и пишем .

Предел функции

Функция представляет собой переменную величину, и поэтому к ней применимо понятия предела, следует лишь указать предел, к которому стремится ее аргумент.

Сформулируем строгое определение предела функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, кроме, может быть, точки a.

 

Определение 1. Число b называется пределом функции при x, стремящемся к a, если для любого (сколь угодно малого) числа существует такое , что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству

,

выполняется неравенство

.

Если b есть предел при , то пишут

,

или при .

Дадим геометрическую иллюстрацию определения предела:

для всех точек точки графика функции лежат внутри полосы, ограниченной прямыми и (рис. 11).

Рис. 11

Замечание. Если при и при этом , то говорим, что стремится к b слева, и пишем . Аналогично определяется предел справа: , если стремится к b, когда x стремится к a, оставаясь больше a. В частности, если стремится к b при справа (соответственно слева), то пишем (соответственно ).

Данное выше определение предела относилось к случаю, когда x стремится к конечному пределу а. Рассмотрим теперь случай .

 

Определение 2. Число b есть предел функции при , если для любого (сколь угодно малого) числа существует такое , что для всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

.

В этом случае пишем .

Если переменная величина является последовательностью, т.е. все ее значения можно занумеровать натуральными числами

 

, ,..., ,...,

 

то ее можно рассматривать как функцию натурального аргумента:

 

, .

 

Определение 2 можно рассматривать, в частности, и как определение предела последовательности (если считать, что аргумент x принимает лишь целые положительные значения).

2.2. Бесконечно малые величины. Связь переменной
величины с ее пределом. Свойства бесконечно малых

Определение. Переменная величина называется бесконечно малой, если она стремится к нулю.

 

В частности, функция есть бесконечно малая при (или при ), если (соответственно, ).

Теорема. Число b есть предел переменной y тогда и только тогда, когда

 

(1) ,

 

где a – бесконечно малая.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть . Пусть задано . Тогда для всех значений y, начиная с некоторого, будет . Обозначим . Очевидно, для всех значений a, начиная с некоторого, будет , следовательно, a – бесконечно малая. Итак,

,

где a – бесконечно малая.

2. Достаточность. Из равенства (1) следует . Пусть задано . Так как a – бесконечно малая, то для всех значений a, начиная с некоторого, будет , следовательно, для всех значений y, начиная с некоторого, будет . А это значит, что .

Теорема доказана.

 

Перечислим свойства бесконечно малых величин.

1. Если a – бесконечно малая и не обращается в нуль, то стремится к бесконечности.

Заметим, что переменная величина, стремящаяся к бесконечности, называется бесконечно большой. Поэтому сформулированное выше свойство можно переформулировать так: величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая величина.

2. Алгебраическая сумма двух (трех и вообще конечного числа) бесконечно малых величин есть бесконечно малая.

Иначе говоря, если , где a, b – бесконечно малые, то и u – бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой величины на величину ограниченную есть величина бесконечно малая.

(Т. е. если a – бесконечно малая, z – ограниченная, то есть бесконечно малая.)

Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Следствие 2. Если a – бесконечно малая, , то – бесконечно малая.

4. Если a– бесконечно малая, а переменная величина z имеет предел, отличный от нуля, то есть величина бесконечно малая.

Следует заметить, что сформулированные свойства 1–4 являются, по существу, теоремами и в более подробном курсе математики излагаются с доказательствами. Здесь мы докажем одно из них, например свойство 3.

Пусть a– бесконечно малая, z – ограниченная величина, . Надо доказать, что – бесконечно малая. Пусть задано . Возьмем . Так как a– бесконечно малая, то для всех значений a, начиная с некоторого, будет , т.е. . Тогда , т.е. . Доказательство закончено.

2.3. Предел суммы, произведения, частного.
Предельный переход в неравенствах

Мы будем рассматривать предел функций , при или при .

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов:

.

(Вообще .)

2. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:

.

(Вообще .)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

 

(если ).

 

Утверждения 1–3 также являются теоремами. Их доказательства основаны на теореме о связи переменной величины с ее пределом.

Приведем в качестве примера доказательство утверждения 2.

Пусть , . Надо доказать, что . Имеем: , , где , – бесконечно малые.

.

Обозначим . В соответствии со свойствами бесконечно малых a есть бесконечно малая. Так как , где a – бесконечно малая, то . Доказательство закончено.

Можно доказать также следующие утверждения.

4. Если переменная y неотрицательна, то ее предел неотрицателен: если , то .

5. Если для переменных u и v выполняется неравенство , то .

6. Если для переменных u, z и v выполняются неравенства и при этом u и v стремятся к одному пределу b (), то переменная z стремится к тому же пределу: .

7. Достаточный признак существования предела: если переменная величина v возрастает и ограничена, т.е. , то эта переменная величина имеет предел:

, где .

Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей ограниченной величины.

Замечательные пределы

1. Предел функции при равен 1:

. (1)

Рассмотрим примеры применения формулы (1).

Пример 1.

.

Пример 2.

.

2. Предел переменной величины при .

Теорема. Переменная величина при имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Доказательство этой теоремы основано на достаточном признаке существования предела, сформулированном выше.

Определение. Предел переменной величины при называется числом е:

.

Заметим, что число e – иррациональное число

е = 2,7182818284...

(Обычно в вычислениях полагают .)

Можно доказать, что

. (3)

(В формуле (2) переменная является последовательностью, в формуле (3) переменная является функцией.)

Сделав в формуле (3) замену , получаем

. (4)

Примеры:

1)

;

2) ;

3)

;

4)

.

Число е играет очень важную роль в математике и ее приложениях.

Показательная функция с основанием е:

называется экспонентной.

Логарифмы с основанием е называют натуральными логарифмами и обозначают , т.е. вместо пишут . Очевидно, если , то .

Непрерывность функций

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и в некоторой окрестности этой точки и если

.

С геометрической точки зрения непрерывная функция – это функция, график которой есть непрерывная кривая. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности.

Обозначим разность через . Будем говорить, что при переходе от значения к значению x аргумент получает приращение *. При этом функция y получает соответствующее приращение . С учетом сказанного, равенство (1) принимает вид:

.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если

. (2)

(Это определение легко запоминается в следующей форме: «функция непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции».)

Пример. Покажем, что функция непрерывна в произвольной точке . Действительно, придадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение

.

Если , то (так как ); при этом – ограничена. Поэтому

.

Следовательно, функция непрерывна.

Аналогично можно доказать, что любая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Справедливы следующие теоремы:

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма также непрерывна в этой точке.

2. Произведение двух непрерывных функций есть непрерывная функция.

3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль (т.е. если и непрерывны в точке и , то непрерывна в точке ).

4. Если непрерывна при и непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательства этих утверждений основаны на свойствах пределов.

На этих утверждениях* основана следующая теорема.

 

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

 

Если функция не является непрерывной в точке , то точка называется точкой разрыва функции . Различают точки разрыва первого рода, когда существуют конечные пределы и , но ¹ , и второго рода, когда хотя бы один из пределов слева и справа бесконечен или не существует. Среди точек разрыва первого рода следует отметить также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен .

Примеры:

1) . Здесь – точка разрыва первого рода, так как предел при слева равен , а предел при справа равен ;

2) . Здесь – точка разрыва второго рода;

3) Здесь – точка устранимого разрыва, так как существует .

Определение 3. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция непрерывна на этом промежутке.