Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-10-09 | 426 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Производная функции , очевидно, зависит от x, т.е. есть также функция аргумента x и по отношению к ней также можно ставить вопрос о производной. Производная от , т.е. производная от производной, называется второй производной и обозначается :
.
Часто вместо применяют символ :
.
Аналогично определяется третья производная, или производная третьего порядка – как производная от второй производной: и т.д. Таким образом, производная n -го порядка определяется как производная от производной (n – 1)-го порядка:
.
Рассмотрим примеры:
1) .
, ;
2) .
,
;
3) .
, ,
,..., ;
4) .
, ,
,..., .
Аналогичным образом определяются дифференциалы второго, третьего и более высоких порядков:
, ,...
Можно показать, что
, ,....
Лекция 4. Применение производных
в исследовании функций
4.1. Основные теоремы дифференциального
исчисления
1. Теорема Ферма. Пусть функция определена на интервале и имеет наибольшее (наименьшее) значение в точке . Тогда если в точке существует производная этой функции, она равна нулю:
.
Доказательство. Докажем теорему для случая, когда функция имеет в точке наибольшее значение (для наименьшего значения доказательство аналогично). В этом случае для всех выполняется неравенство , что означает
для любой точки .
Если , то
. (1)
Если , то
. (2)
Но из условия теоремы производная в точке существует, тогда, переходя к пределу при , получаем
при ,
при .
Но соотношения , совместимы лишь в том случае, если .
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если дифференцируемая функция в точке принимает наибольшее (наименьшее) значение, то касательная к графику этой функции в точке параллельна оси Ox (см. рис. 1).
|
Рис. 1 |
2. Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим трем условиям:
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале ;
3) на концах отрезка принимает равные значения: .
Тогда внутри отрезка существует хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю:
.
Доказательство. Известно (см. п. 2.5), что функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то по условию 3) они равны: , т.е. есть константа. В этом случае производная равна нулю во всех точках отрезка.
Если же , то хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, в некоторой точке . Тогда по теореме Ферма .
Доказательство закончено.
3. Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале .
Тогда внутри отрезка существует такая точка , что справедлива формула
. (3)
Доказательство. Возьмем вспомогательную функцию
. (4)
Эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке (так как непрерывна), она дифференцируема на :
, (5)
кроме того, принимает на концах отрезка одинаковые значения: . Следовательно, по теореме Ролля существует такая точка , что . Но тогда (см. (5))
,
т.е. справедливо равенство (3). Теорема доказана.
Заметим, что из (3) непосредственно следует равенство
. (6)
Эта формула (6) называется формулой Лагранжа.
Рассмотрим пример применения формулы Лагранжа.
Пусть . Что больше: или ?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим . Имеем . В соответствии с формулой (6) при , :
.
Но , следовательно, .
4. Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на и дифференцируемы на , причем . Тогда существует такая точка , что справедлива формула
. (7)
Доказательство этой теоремы приводить не будем.
Заметим, что теорема Лагранжа есть частный случай теоремы Коши при .
Правило Лопиталя
Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида «», если
|
. (8)
Можно доказать, что в этом случае (т.е. при условии (8)) верна формула
. (9)
Формула (9) дает правило вычисления пределов при условии (8). Это правило называется правилом Лопиталя.
(Заметим, что вычисление при называют раскрытием неопределенности вида «».)
Рассмотрим на примерах применение правила Лопиталя:
1) ;
2) ;
3) .
(Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя.)
Будем называть отношение при неопределенностью вида «», если
. (10)
Для раскрытия неопределенностей «» также применимо правило Лопиталя, т.е. при условии (10) применяется формула
.
Это правило применяется также и при .
Примеры:
1) ;
2) .
Заметим, что неопределенности других видов: «», «», «» и т.д.* можно свести к неопределенностям «» или «» и затем раскрыть по правилу Лопиталя.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!