Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-10-09 | 290 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Будем говорить, что переменная z есть функция аргументов x и y, если каждой паре значений x и y соответствует определенное значение z.
Тот факт, что z есть функция переменных x и y, записывают одной из формул:
, , .
Аналогично определяются и обозначаются функции трех и большего числа переменных:
, и т.д.
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, выражается формулой
.
Здесь есть функция двух переменных.
Пример 2. Температура Q нагретого тела может в данный момент t изменяться от точки к точке. Поэтому
,
т.е. Q есть функция трех аргументов (координат точки) x, y и z.
Пример 3. Если в предыдущем примере еще учитывать зависимость Q от времени t, то Q будет функцией четырех аргументов
.
Чтобы задать функцию , надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество пар значений, которые могут принимать аргументы x и y. Это множество называется областью определения функции. В случае явного аналитического задания это множество определяется самой формулой, задающей функцию. Например, функция
задана для всех возможных x и y. Пару чисел можно рассматривать как координаты точки на плоскости. В связи с этим мы можем сказать, что рассматриваемая функция задана на всей плоскости.
Функция
задана лишь при , т.е. в круге радиуса R с центром в начале координат, ограниченном окружностью (включая эту окружность).
Функция
задана при , т.е. в кольце, ограниченном окружностями радиусов , , центр которого совпадает с началом координат (при этом точки, принадлежащие окружности принадлежат области определения, а точки окружности – не принадлежат).
|
Сформулируем понятие окрестности точки на плоскости.
Определение. Будем называть e - окрестностью точки открытый круг радиуса e с центром в точке , т.е. множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям
.
Прямоугольной окрестностью точки называется открытый прямоугольник с центром точке (т.е. множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям , ).
В дальнейшем, говоря «окрестность», мы будем иметь в виду окрестность одного из упомянутых видов – круговую или прямоугольную.
Функция двух переменных допускает графическую иллюстрацию. Обычно график функции есть поверхность в трехмерном пространстве (при этом область определения функции есть проекция этой поверхности на плоскость xOy).
Функции трех и большего числа переменных невозможно представить геометрически (в обычном трехмерном пространстве).
Заметим, что все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных и мы будем в основном изучать именно их.
Непрерывность
Понятие непрерывности функции нескольких переменных определяется так же, как и для функции одной переменной.
Пусть , пусть – некоторая точка. Придадим аргументам x и y приращения D x, D y (т.е. перейдем от к ). Тогда функция получит приращение D z. Если
, (1)
то говорят, что функция непрерывна в точке . Иначе говоря, функция непрерывна, если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции*.
Если учесть, что
,
и положить , , то равенство (1) можно переписать в виде
. (2)
Равенство (2) дает нам еще одно определение непрерывности: функция непрерывна, если ее предел равен ее значению от пределов аргументов.
Частные производные
Пусть . Зафиксируем точку и, не меняя значения придадим аргументу x приращение D x, т.е. перейдем от к . Если существует предел
,
то этот предел называется частной производной функции в точке и обозначается одним из символов
, , , .
|
Аналогично определяется частная производная по y:
.
Таким образом, частная производная функции двух аргументов по одному из аргументов – это обычная производная той функции одного аргумента, которая получается из данной функции при фиксированном другом аргументе. (Поэтому, вычисляя, например, , мы обращаемся с аргументом y как с константой.)
Примеры. 1) .
, ;
2) .
, .
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!