Построение графиков функций в полярной системе координат

В простейших случаях допустимо строить график функции, заданной в полярных координатах, по точкам (см. пример занятия 15).

Построение графика функции ρ=f( в общем случае осуществляется так: а) строят для функции ρ=f( соответствующую функцию y=f(x); б) исследуют функцию ρ=f(, сравнивая ее с соответствующей функцией y=f(x), учитывая отмеченные выше особенности графика функции ρ=f(; в) выполняют построение графика функции ρ=f( по графику функции y=f(x).

Ограниченность функции.

Если функция y=f(x) ограничена (M<f(x)<N) то, как известно, ее график располагается между прямыми y=M и y = N. Для соответствующей функции ρ=f() справедливо неравенство M<f()<N, и график функции ρ=f() располагается в кольце, внутренний радиус которого равен М, а внешний –N.

Монотонность функции.

Если функция y=f(x) имеет экстремум при x= , то функция ρ=f( имеет экстремум при = . Если функция y=f(x) убывает в некотором промежутке, то в полярной системе координат для функции ρ=f( при движении по часовой стрелке значение радиуса уменьшается, а при движении против часовой стрелки – увеличивается.

Асимптоты функции.

Горизонтальная асимптота y=c кривой y=f(x) в декартовой системе координат переходит в асимптотическую окружность ρ=с в полярной системе координат. В частности, если с=0, то окружность вырождается в точку.

Вертикальная асимптота x=b кривой y=f(x) в декартовой системе координат переходит в общем случае в луч =b в полярной системе координат. В частности, если b=0, то асимптота х=0 переходит в полярной системе координат в полярную ось; если b= , где k – некоторое целое число, то асимптота x=b переходит в вертикальный луч = .

Замечание. Для построения графика функции ρ=f( при значениях , соответствующих таким значениям х, при которых f(x) <0, достаточно построить график функции y=│f(x)│. Затем по этому графику строят кривую в полярной системе координат и поворачивают ее вокруг полюса на угол π. Получают кривую, соответствующую отрицательным значениям функции ρ=f(. Следовательно, построение кривой ρ=f( надо вначале выполнить для , соответсвующих значениям х, при которых f(x)>0, а затем строить кривую ρ=f( для , соответствующих значениям х, при которых f(x)<0.

 

 

Задания.

 

Построить график функции в полярной системе координат

1. ρ=3sin2 (четырехлепестковая роза ρ=аsin2 )

Решение.

Исследуем функцию ρ=3sin2 , сравнивая ее с функцией y=3sin2 . Функция y=3sin2 определена для любых х, следовательно, функция ρ=3sin2 тоже определена для любых , Функция y=3sin2 нечетная, следовательно, кривая ρ=3sin2 симметрична относительно полюса, Поскольку функция y=3sin2 периодическая с периодом π, то и функция ρ=3sin2 периодическая в периодом π. Функция y=3sin2 ограничена (│3sin2 ), следовательно, функция ρ=3sin2 тоже ограничена (│3sin2 │≤3). Функция y=3sin2 на [0;π] имеет максимум при х= (y=3) и минимум при х= (y=-3). Соответственно, функция ρ=3sin2 имеет экстремальные значения при

= эти значения равны 3 и -3.

Функция y=3sin2 при x ]0; [ ] ; [ возрастающая при x ] ; [ ] ; [ убывающая; соответственно, функция, ρ=3sin2 возрастающая при ] ; [ ] ; [. Кривая y=3sin2 асимптот не имеет, не имеет их и кривая ρ=3sin2 . Следовательно, кривая ρ=3sin2 располагается в круге радиусом 3 с центром в полюсе.

Учитывая симметрию кривой ρ=3sin2 относительно полюса и ее периодичность, строим кривую ρ=3sin2 для 0≤ ≤ . Это построение выполняем так: сначала строим точку экстремума

A1() и точки, для которых ρ = 0: A2(), A1(); после этого строим точки B1(ρ; ), B2(ρ; ).

Заметим, что значения ρ для точек B1 и B2 получим из графика функции y=3sin2 , взяв соответствующую ординату кривой для точек х= и х= . Аналогично строим точки С1 и С2. Проведя через эти точки линию, получим график функции ρ=3sin2 для 0≤ ≤ (рис 298, а). Учитывая симметрию относительно полюса, строим кривую ρ=3sin2 для - ≤ ≤0 (рис 298, б). Наконец, с помощью поворота на угол вокруг полюса получаем график функции ρ=3sin2 (рис 298 в).

 

1. ρ=αcos2 (четырехлепестковая роза)

Решение.

Воспользовавшись формулой cos2 =sin( +2 ) приведем заданную функцию к виду

ρ =αsin( +2 ).

Очевидно, что график функции ρ =αsin( +2 ) получим из графика функции ρ=αcos2 с помощью поворота на (рис 299)

 

1. ρ= , или ln ρ=α (логарифмическая спираль), α>0
2. ρ = , >0.
3. ρ = b (конхоида)

 

Занятие 17.

 

Тема занятия: «Контрольная работа № 2.»

 

План занятия.

1. Контрольная работа № 2.

 

Методические материалы.

 

Содержит задачи из разделов: "Основные тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции", "Преобразование тригонометрических выражений", "Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства", "Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства", "Производная. Геометрический смысл. Производная сложной функции", "Исследование функций одной переменной".

 

Контрольные мероприятия

 

Перед проведением текущих аттестаций выполняются контрольные работы. Контрольные работы направлены на выявление практических навыков в решении задач элементарной математики по рассмотренным темам и усвоения нового материала. Представляют собой билет с 5 задачами.

 

Контрольная работа № 1.

Планируется на 7 занятии. На ее выполнение отводится 1 час времени.

 

Контрольная работа № 2.

Планируется на последнем занятии. На ее выполнение отводится 1 час времени.

 

Требования при подведении итогов текущей и промежуточной аттестаций, определяющие условия, при которых цикл практических занятий считается зачтенным

 

Дисциплина состоит из курса с практическими занятиями, завершающегося зачетом.

Знания студентов по дисциплине оцениваются по 100-бальной системе со следующими диапазонами баллов:

Зачет	Не зачтено	Зачтено
Академическая оценка (по 4-бальной системе)	Неудовлет-ворительно	Удовлет-ворительно	Хорошо	Отлично
Бальная оценка (по 100-бальной системе)	От 0 до 39 включи-тельно	От 40 до 60 вклю-чительно	Свыше 60 до 80 вклю-чительно	Свыше 80 до 100 вклю-чительно

 

Бальная оценка по дисциплине определяется как сумма баллов, набранных студентом в результате работы в семестре (текущая успеваемость, 60 баллов) и на зачете (промежуточная аттестация, 40 баллов).

Бальная оценка текущей успеваемости складывается из следующих показателей:

· посещаемость — 0-10 баллов (0-5 баллов на каждую аттестацию);

· выполнение контрольной работы № 1 — 0-15 баллов,

· выполнение контрольной работы № 2 — 0-15 баллов,

· выполнение домашних заданий — 0-20 баллов (0-10 баллов на каждую аттестацию).

Отчеты по выполнению самостоятельной работы (домашних заданий) сдаются на проверку дважды в семестре: первый отчет не позднее 31 октября (дня текущей аттестации), второй отчет не позднее зачетной недели. Студенты, не сдавшие отчеты по самостоятельной работе, не допускаются к промежуточной аттестации.

Практические занятия к текущей аттестации будет зачтены при условии выполнения домашних заданий, что подтверждается сдачей отчета по домашним заданиям и набранной балльной оценки не менее 10 баллов.

Цикл практических занятий за семестр считается зачтенным при условии выполнения контрольных работ и сдачи отчетов, содержащих домашние задания.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

 

Основная литература

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник для вузов. В 3 т. Т.1. — М.: Невский диалект, 2001.— 680 с.; Т.2. — М.: Невский диалект, 2006.— 864 с.

2. Кремер Н.Ш., Константинова О.Г., Фридман М.Н. Математика для поступающих в экономические вузы: Учеб. пособие / Под ред. Н.Ш.Кремера. — М.: Юнити-Дана, 2004.— 605с.

Дополнительная литература

1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2008.— 509 с.

2. Золотухин А.Я. Элементы теории множеств, меры и интеграла Лебега. Тула: ТулГУ, 2007. – 107с.

3. Иванов К.П. Сборник задач по элементарной математике для абитуриентов. — СПб.: Невский Диалект, 2007. — 336 с.

4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). СПб.: Лань, 2008. – 240 с.

5. Симонян, А.З. Математика: Метод.пособие для поступающих в ТулГУ / Симонян А.З.;ТулГУ.— Тула, 2006.— 112с.