Цели и задачи практических занятий

Методические указания

К практическим занятиям

 

по дисциплине

 

Математическая составляющая естественно-научных дисциплин

 

 

Направление подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»

Профиль подготовки: «Прикладная математика и информатика»

 

Форма обучения:очная

 

Тула 2016 г.

 

 

Методические указания к практическим занятиям составлены доцентом каф. ПМиИ Ю.В. Московскойи обсуждены на заседании кафедры Прикладной математики и информатики Механико-математического факультета

протокол № 10 от " 16 " мая 2016 г.

 

Зав. кафедрой________________В.И. Иванов

 

Методические указания к практическим (семинарским) занятиям пересмотрены и утверждены на заседании кафедры Прикладной математики и информатики Механико-математического факультета

протокол №___ от "___"____________ 20___ г.

 

Зав. кафедрой________________В.И. Иванов

 

 

 

Цели и задачи практических занятий

 

Целями практических занятий по дисциплине «Математическая составляющая естественно-научных дисциплин»являются формирование математической культуры студентов, фундаментальная подготовка студентов в области элементарной математики и знакомство с элементами высшей математики, овладение основным аппаратом математики для дальнейшего использования при изучении дисциплин естественнонаучного содержания и в других областях математического знания.

Задачами освоения дисциплины являются:

- фундаментальная подготовка студентов в области элементарной математики и знакомство с элементами высшей математики,

- подготовка студентов к усвоению материала при изучении специальных математических дисциплин,

- приобретение практических навыков решения математических задач.

 

 

Методические указания к проведению практических занятий

 

Занятие 1.

 

Тема занятия: «Множества. Числовые множества. Элементы теории множеств.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.
3. Самостоятельное выполнение заданий.

 

 

Методические материалы.

 

Способы задания множеств:

1) перечислением.

2) указанием характеристического свойства, т.е. такого свойства, что элементы множества им обладают, а все остальное на свете не обладает.

Диаграммы Венна.

Равенство множеств: A=B: "x xÎAÛxÎB.

Пустое множество: множество, не имеющее ни одного элемента, обозначают Æ.

Универсальное множество. Обычно все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого фиксированного множества I. Мы будем называть в этом случае множество I универсальным множеством.

Подмножество. Множество B является подмножеством другого множества A, если каждый элемент x из B является вместе с тем и элементом множества A. обозначают BÌA.

Числовые множества. Примерами таких множеств могут служить:

а) множество всех натуральных чисел,

б) множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля),

в) множество всех рациональных чисел,

г) множество всех действительных чисел.

Пересечение множеств. Множество, состоящее из общих элементов множеств A, B, называется пересечением этих множеств или их произведением. Пересечение двух множеств A и B обозначается AB или AÇB. Решение систем уравнений и неравенств, по сути дела, сводится к отысканию пересечения некоторых множеств.

Объединение (сложение) множеств. Суммой множеств A, B называют новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хоть в одно из слагаемых множеств (в объединении повторяющиеся элементы считаются лишь по одному разу). Сумму множеств A и B обычно обозначают A+B или AÈB.

Вычитание множеств. Разностью двух множеств A и B называют новое множество, обозначаемое A−B или A\B, в которое входят все элементы множества A, не принадлежащие B. Вычитание B из A сводится к удалению из A общей части A и B: A−B=A−AB.

Дополнение множества. Если все множества рассматриваются как подмножества универсального множества I, то обычно под дополнением множества B понимают его дополнение в I. В этом случае вместо B'_I пишут просто B'.

 

Задания.

1 (уст). Из примеров множеств укажите, которые заданы перечислением или их можно так задать. Приведите свои примеры. ({понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}, множество арифметических действий, множество корней квадратного уравнения x^2−2x−24=0 {−4, 6})

2 (уст). Из выше приведенных примеров множеств укажите, которые заданы характеристическим свойством. Приведите свои примеры.

3. Установите связь между числовыми множествами.

4. Что является решением уравнения (x^2 +y^2 −37)(y −x−7)=0? Ответ: множество, состоящее из окружности и прямой.

5.Данная задача, связанная с подсчетом численности конечных множеств, принадлежит известному детскому писателю Льюису Кэрроллу, автору.Алисы в стране чудес. Под псевдонимом Льюис Кэрролл писал математик Доджсон. В одной из повестей Кэрролла есть следующая задача:

В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 — одно ухо, 80 — одну руку и 85 — одну ногу. Каково минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?

Решение. Обозначим через A множество одноглазых, через B — множество одноухих, через C — множество одноруких и через D — множество одноногих. В задаче требуется оценить численность множества ABCD. Ясно, что все универсальное множество I можно представить как сумму этого множества ABCD и множества пиратов, сохранивших либо оба глаза, либо оба уха, либо обе руки, либо обе ноги. Поэтому I =A' +B' +C' +D' +ABCD. Отсюда следует, что численность множества I не больше суммы численностей множеств A', B', C', D' и ABCD (она была бы равна этой сумме, если бы множества A', B', C' и D' попарно не пересекались). Но численность множества A' равна 30, множества B' — 25, множества C' — 20 и множества D' — 15. Так как численность'универсального множества равна 100, то имеем 100<=30+25+20 +15+N(ABCD). Отсюда

N(ABCD)>=100−30−25−20−15=10.

Итак, не менее 10 пиратов лишились и глаза, и уха, и руки, и ноги.

6. Множество A состоит из целых чисел, делящихся на 4, множество B — из целых чисел, делящихся на 10, и множество C из целых чисел, делящихся на 75. Из каких чисел состоит множество ABC?

7. В библиотеке есть книги по разным отделам науки и искусства. Обозначим множество всех книг в библиотеке через A, а множество всех математических книг (не только в данной библиотеке) — через B. Охарактеризуйте множество A — B.

8. Множество A состоит из точек M(x; y) плоскости, для которых |x|64, |y|64, множество B — из точек плоскости, для которых x2 +y2 625, и множество C — из точек плоскости, для которых x>0. Изобразите множество AB −C.

 

Занятие 2.

 

Тема занятия: «Множества. Числовые множества. Элементы теории множеств.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.
3. Самостоятельное выполнение заданий.

 

Методические материалы.

 

Алгебра множеств.

Мы познакомились с основными действиями над множествами — сложением, вычитанием и умножением (пересечением) множеств. Эти действия обладают целым рядом свойств, напоминающих свойства действий над числами.

Роль нуля и единицы в действиях над множествами играют множества Æ (пустое множество) и I (универсальное множество).

Приведем список свойств действий над множествами:

1) AÌA.

2) Если AÌB и BÌA, то A=B.

3) Если AÌB и B ÌC, то AÌC.

4) ÆÌA.

5) AÌI.

6) A+B =B +A.

7) AB =BA.

8) A+(B +C)= (A+B)+ C.

9) A(BC)= (AB)C.

10) A+A=A.

11) AA=A.

12) A(B +C)=AB +AC.

13) A+BC =(A+B)(A+C).

14) A+Æ=A.

15) AI =A.

16) A+I =I.

17) AÆ=Æ.

18) Соотношение AÌB эквивалентно каждому из соотношений A+B =B, AB =A.

19) A+A'=I.

20) AA'=Æ.

21) Æ'=I.

22) I' =Æ.

23) (A')'=A.

24) Соотношение AÌB эквивалентно B'ÌA'.

25) (A+B)' =A'B'.

26) (AB)0 =A' +B'.

Отметим следующее замечательное.соотношение двойственности. Если в каждом из свойств 1)–26) заменить друг на друга символы Ì и É, Æ и I, È и Ç, то в результате получится снова одно из этих свойств.

 

 

Задания.

 

1. Упростить далее выражение (A+B)^2 =A^2 +B^2 +2AB. Ответ: A+B.

2. Доказать распределительный закон для множеств A+BC =(A+B)(A+C).

3. Доказать A+(B−C)НЕ=(A+B)−C для случая A=B=C.

Решение. A+B =A и потому (A+B)−C=A−A=Æ — пустое множество, а A+(B−C)=A+Æ=A

4. Доказать следующие формулы: (A+B)' =A'B' и (AB)' =A' +B' (на диаграмме).

5. Пользуясь правилами алгебры множеств, упростите выражение (A+B+C)(A+B)−[A+(B−C)]A.

6. Докажите равенства

а) (A−B)−C =(A−C)−(B −C);

б) (A−B)+(B −C)+ (C −A)+ ABC =A+B +C.

7. Докажите включение мноржеств AC +BD _(A+B)(C +D);

8. Вытекает ли из A−B =C, что A=B +C?

9. Вытекает ли из A=B +C, что A−B =C?

10. Какие включения справедливы для множеств A−(B +C) и (A−B)−C?

11.Упростите выражение [(X−Y)’(X’ +Y’)]’.

 

Занятие 3.

 

Тема занятия: «Делимость многочленов, деление с остатком. Симметрические многочлены и основная теорема. Неприводимые многочлены. Многоугольник Ньютона и критерий Дарбу о неприводимости. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.
3. Самостоятельное выполнение заданий.

 

Методические материалы.

 

Многочлен n-ной степени от неизвестного х:

Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f(x), g(x) и так далее.

Умножение многочленов.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения.

(-5a)(4-b-a²)=-20a+5ab+5a³;

(2+b)(b²-4)=2b²-8+b³-4b.

Деление многочленов.

Многочлен делится на многочлен , если существует такой многочлен , что выполняется равенство

Например, из равенства следует, что делится на многочлен и на многочлен .

Многочлен в равенстве называется частным от деления на , а – делителем.

Основные свойства делимости многочленов:

1. Если делится , а делится на , то будет делиться на .

2. Если и делятся на , то их сумма и разность также делятся на .

3. Если делится на , то произведение на любой многочлен также будет делиться на .

4. Если каждый из многочленов делится на , то на будет делиться и многочлен , где - произвольные многочлены.

5. Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

6. Если делится на , то делится и на с* , где с – произвольное число отличное от нуля.

7. Многочлены , , и только они будут делителями многочлена , имеющими такую же степень, что и .

8. Тогда и только тогда многочлены , одновременно делятся друг на друга, если , .

9. Всякий делитель одного из двух многочленов , , где , будет делителем и для другого многочлена.

Неприводимый многочлен.

Неприводимый многочлен - это многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени.

 

Задания.

 

№ 1. Для каких целых чисел n число является простым.

Решение.

Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя; целое отрицательное число k называется простым, если число –k простое.

Для ответа на поставленный вопрос заметим, что справедливо равенство

и поэтому число делится на и на Следовательно, оно может быть простым только в случае, когда один из этих делителей равен 1 или –1, т.е. выполняется хотя бы одно из равенств

Остается проверить следующие значения n: 3, 1, 0, -3, -1 и –2. При этих значениях n рассматриваемое число равно соответственно 19, -5, 3, 4, так что искомое множество чисел есть

 

№ 2. Найти частный и остаток от деления на .

1. и

Решение.

|

Частным от деления на является многочлен , остатком – .

2. и

 

№ 3. Найти наибольший общий делитель многочленов и .

1. и

2. и

 

Разделить многочлен f(x) на многочлен g(x):

1. , ;

2. , ;

3. , ;

 

 

Занятие 4.

 

Тема занятия: «Рациональные уравнения. Корни многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Кратность корня и производная.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.
3. Самостоятельное выполнение заданий.

 

Методические материалы.

 

Корни многочленов.

Корни многочлена

есть корни рационального уравнения

Рациональные уравнения.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) - рациональная функция, называется рациональным уравнением. Часто рациональное уравнение записывают в виде равенства двух рациональных функций

f(x) = g(x)

Число a называется корнем уравнения f(x) = g(x), если при подстановке его вместо x в уравнение получается верное числовое равенство f(a) = g(a).

Можно выделить следующие методы решения рациональных уравнений:

1. Решение с помощью подстановки, т.е. введением новой переменной. Например, в уравнении aP2(x) + bP(x) + c = 0, где P(x) - многочлен, введем новую переменную y = P(x). Решаем квадратное уравнение ay2 + by + c = 0 относительно y и возвращаемся к решению уравнений P(x) = yi, где yi - решения соответствующего квадратного уравнения.

2. Решение разложением на множители. Если уравнение можно представить в виде P(x)Q(x)=0, где P(x) и Q(x) - рациональные функции, то нужно представить уравнение P(x)Q(x) = 0 в виде совокупности:

3. Однородное уравнение второго порядка aP²(x) + bP(x)Q(x) + cQ² (x) = 0. Здесь возможны два случая. Первый - Q(x) = 0, тогда уравнение сводится к решению уравнения P(x) = 0. Второй случай - Q(x) ≠ 0, тогда исходное уравнение можно поделить на Q² (x) и получить a(P(x)/Q(x)) ² + bP(x)/Q(x) + c = 0. Вводим замену P(x)/Q(x) = t и получаем квадратное уравнение at2 + bt + c = 0. В ответ включаем решения обоих случаев.

4. Симметричное уравнение третьего порядка: ax3 + bx2 + bx + a = 0. Для его решения проведем следующие преобразования: ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1)(x2- x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1)(ax2 + (b - a)x + a). Решаем совокупность:

5. Симметрическое уравнение четвертого порядка ax4 + bx3 + сx2 + bx + a = 0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части на x2. Получим a(x2 +1/x2)+ b(x + 1/x) с = 0. Сделаем подстановку x + 1/x = t, тогда x2 + 1/x2 = t2 - 2. Получаем квадратное уравнение at2 + bt + (c - 2a) = 0. После его решения возвращаемся к исходной переменной x.

6. Возвратное уравнение. Уравнение вида ax4 + bx3 + сx2 + dx + e = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0 иe/a = (d/b)2, называется возвратным уравнением четвертого порядка. Для его решения делим уравнение на x2 и вводим переменную t = bx + d/x, после чего получаем квадратное уравнение at2/b2 + t + с - 2ad/b = 0. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

7. Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, где a + b = c + d. В даном случае вводим новую переменную t = x2 + (a + b)x и получаем квадратное уравнение (t + ab)(t +cd) = m. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

8. Уравнение вида P(x)/Q(x) = 0. Решаем уравнение P(x) = 0. Проверяем, чему равно значение Q(xi), где xi - корни уравнения P(x) = 0. Если Q(xi) ≠ 0, значит они являются решением исходного уравнения. Если Q(xi) = 0 - корень выпадает из области определения исходного уравнения и его нужно исключить из ответа.

9. Уравнение вида aP(x)/Q(x) + bQ(x)/P(x) + c = 0. Вводим новую переменную t =P(x)/Q(x) и получаем следующее уравнение: at + b/t + c = 0. Или после домножения на t (t ≠ 0) получаем квадратное уравнение at2 + ct + b = 0. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

10. Уравнение состоящее из суммы дробей. Один из методов состоит в том, что нужно перенести все члены уравнения в одну часть и свести уравнение к виду P(x)/Q(x) = 0.

Теорема Безу. Многочлен f(x) делится на x-c тогда и только тогда, когда число c является его корнем.

Кратность корня.

Если c – корень многочлена f(x), может оказаться, что многочлен f(x) делится не только на первую степень линейного двучлена x-c, но и на более высокие его степени. Во всяком случае, найдется такое натуральное число k, что f(x) нацело делится на , но не делится на . Поэтому

,

где многочлен на x-c уже не делится. Число k называется кратностью корня c в многочлене f(x), а сам корень c – k- кратным корнем этого многочлена. Если k =1, то говорят, что корень с – простой.

Производная от многочлена.

Понятие кратного корня тесно связано с понятием производной от многочлена. Пусть дан многочлен n–ной степени

f(x)=

Его производной (первой производной) называется многочлен (n- 1)-й степени

Производная от многочлена нулевой степени и от нуля считается равной нулю.

Для производной k- го порядка справедливо

Свойства.

Многочлен тогда и только тогда не содержит кратных множителей, если он взаимно прост со своей производной.

Схема Горнера.

Схема Горнера предназначена для вычисления значения полинома в точке. Пусть дан полином

Разделим на с остатком:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части:

Это можно записать в виде таблицы:

 

Задания.

 

№ 1. Решить уравнения, опираясь на теорему Безу.

1.

Решение.

Многочлен f(x)= имеет корень 2. По теореме Безу f(x) делится на x-2, то есть имеет место равенство

.

|

Остается решить квадратное уравнение . Это уравнение не имеет действительных корней, так что x=2 – единственный действительный корень исходного уравнения.

2.

 

№ 2. Найти производную многочлена .

1.

2.

3.

 

 

№ 3. Вычислить значение многочлена в точке, используя схему Горнера.

 

 

Занятие 5.

 

Тема занятия: «Рациональные дроби и их разложение на простейшие дроби. Рациональные неравенства.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.
3. Самостоятельное выполнение заданий.

 

Методические материалы.

 

Рациональную дробь вида Pn(x)/Qm(x), где Pn(x), Qm(x) - многочлены порядка n и m соответственно (n<m) можно разложить на элементарные дроби. Алгоритм следующий:

1. Знаменатель Qm(x) разложить на множители вида (x-x0)^k, (x²+bx+c) и константу а, где (x-x0)^k - множитель соответствующий корню x0 кратности k, (x²+bx+c) - множитель соответствующий случаю двух сопряженных комплексных корней, а=a^m - коэффициент стоящий при x^m многочлена Qm(x).

2. Записать рациональную дробь вида Pn(x)/Qm(x) в виде суммы простейших дробей, у которых неизвестны коэффициенты числителя. Скобкам знаменателя вида (x-x0) соответствует дробь A/((x-x0), скобкам вида (x-x0)^k соответствует сумма дробей

В1/(x-x0)+B2/(x-x0)^k+...+Bk/(x-x0)^k, скобкам вида (x²+bx+c) соответствует дробь

(Cx+D)/(x²+bx+c).

3. Приравниваем исходной дроби Pn(x)/Qm(x) к построенной сумме дробей находят неизвестные коэффициенты в разложении.

 

Задания.

 

№ 1. Найти числа a, b, c, при которых следующее равенство справедливо на области допустимых значений этого равенства:

1. ;
2. ;

 

№ 2. Разложить рациональную дробь на элементарные дроби.

1. (x-1)/(x+1)
2. (x^2+3x-3)/(x^3-1)
3. x/(x^2-1)
4. (x^2+1)/(x^2-1)
5. 1/((x+1)^3+1)

 

Занятие 6.

 

Тема занятия: «Функция одной переменной. Основные понятия и определения. Элементарные функции и их графики. Преобразования функций.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.
3. Самостоятельное выполнение заданий.

 

Методические материалы.

 

Элементарные функции.

На рисунках 2 — 7 изображены графики основных элементарных функций.

Преобразования функций.

Построение графиков функций «механическими» преобразованиями изображено на нижеследующих рисунках.

График функции у = —f(х) получен из графика функции у = f(х) отражением относительно оси Ох (см. рис. 8). График функции у = f(-х) получен из графика функции у=f(х) отражением относительно оси Оу (см. рис. 9).

График функции у = m*f(х), m>1, получен из графика функции у = f(x) растяжением в m раз вдоль оси Оу от оси Ох (см. рис. 10). График функции у = m*f(х), 0<m<1, получен из графика функции у = f(x) сжатием в 1/m раз вдоль оси Оу к оси Ох (см. рис. 11).

График функции у = f(kx), k>1, получен из графика функции у = f(х) сжатием в к раз к оси Оу вдоль оси Ох, см. рис. 12. График функции у = f(kx), 0<k<1, получен из графика функции у = f(x) растяжением в 1/k раз от оси Оу вдоль оси Ох, см. рис. 13.

График функции у = f(x) + B получен из графика функции у =f(х) сдвигом вверх на число B при B> 0 и сдвигом вниз на число (-B) при B< О, см. рис. 14. График функции у=f(x+а) получен из графика функции у =f(x) сдвигом вправо на число -а при а < 0 и сдвигом влево на число а при а > 0, см. рис. 15.

График функции у = |f(x)| (рис. 17) получен из графика функции у = f(x) (рис. 16) отражением относительно оси Ох части этого графика, лежащей ниже оси Ох. График функции у = f(|х|) (рис. 18) получен из графика функции у = f(x) (рис. 16) объединением части этого графика, лежащей правее оси Оу, с её отражением относительно оси Оу и удалением части, лежащей левее оси Оу.

рис. 16 рис. 17. рис. 18

 

Задания.

 

Построить графики функций преобразованием от элементарных функций

1. 
2. 
3. 

 

 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 

 

Занятие 7.

 

Тема занятия: «Обратная функция. Контрольная работа № 1.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом. Разбор заданий под руководством преподавателя.
2. Контрольная работа № 1

 

Методические материалы.

 

Функция у = f (х) называется обратимой, если она принимает каждое свое значение один раз.

Пусть f — отображение множества Е на множество М. Если для любого элемента y из множества М существует единственный элемент x — g(y) множества E, для которого F(х) = у, то отобра­жение f называется обратимым. Отображение, обратное к у, обозна­чают и называют обратной функцией. Функция у = f (х) при этом называется прямой функцией.

Областью определения обратной функ­ции является множество значений функ­ции, а множество значений является областью определения функции f.

Функции у = f (х) и х — (у) назы­ваются взаимно обратными.

Для того чтобы некоторая функция имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы разным значениям аргумента из области ее определения соответствовали разные значе­ния функции

 

Контрольная работа № 1

Содержит задачи из разделов: "Множества. Числовые множества. Элементы теории множеств", "Делимость многочленов", "Рациональные уравнения. Корни многочленов", "Рациональные неравенства", "Элементарные функции и их графики", "Преобразования функций", "Обратная функция".

 

 

Задания.

 

№ 1. Задать формулой функцию, обратную данной, указать ее ООФ и МЗФ. Построить их графики:

1. f(x) =

2.

3.

 

Занятие 8.

 

Тема занятия: «Основные тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции.»

 

План занятия.

1. Разбор заданий контрольной работы № 1, вызвавших наибольшую трудность
2. Знакомство с теоретическим материалом.
3. Разбор заданий под руководством преподавателя.
4. Самостоятельное выполнение заданий.

 

Методические материалы.

 

Тригонометри́ческие фу́нкции

Функция y=sinx. Область определения функции: [-∞,+∞]. Область значения функции [-1,1]. Функция нечетная, периодическая с периодом 2π. Точки пересечения с осью абсцисс: x=nπ (nϵZ), эти точки являются и точками перегиба графика кривой. Функция на [ возрастает от 0 до 1 на убывает от 1 до -1, на возрастает от -1 до 0. Функция на [ ] выпуклая, а на [ ] вогнутая.

Функция y=cosx. Область определения функции: [-∞,+∞]. Область значения функции [-1,1]. Функция четная, периодическая с периодом 2π. Точки пересечения с осью абсцисс: x= (nϵZ), эти точки являются и точками перегиба графика кривой. Функция на [ убывает от 1 до -1 на возрастает от -1 до 1. Функция на [ ] выпуклая, а на [ ] вогнутая, [ ] выпуклая.

Функция y=tgx. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме . Область значения [-∞,∞]. Функция нечетная, периодическая с периодом π. Точки пересечения в осью абсцисс: x=kπ , эти же точки = точки перегиба. Функция на [ ] возрастает от -∞ до ∞. Функция вогнутая на , выпуклая – на . Вертикальные асимптоты: .

Функция y=ctgx. Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме . Область значения [-∞,∞]. Функция нечетная, периодическая с периодом π. Точки пересечения в осью абсцисс: x=k+ π , эти же точки - точки перегиба. Функция на [ ]убывает от -∞ до ∞. Функция вогнутая на , выпуклая – на . Вертикальные асимптоты: .

Графики функций:

Задания.

 

№ 1. Построить графики функций:

1. y=cos2x
2. y=sin(x-П/3)
3. y=tgx/3
4. y=ctg(2x+П/3)

№ 2. Вычислить:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

№ 3. Выяснить, какое из следующих двух ч