Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-10-01 | 236 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Доказательство принципа максимума было проведено без учета ограничений на фазовый вектор. Рассмотрим систему уравнений
, , ,
где - вектор , - вектор , - вектор , а множество задано в виде , где - вектор-функция , причем .
Рассмотрим задачу Лагранжа при свободном :
.
Исследуем оптимальные траектории, которые можно разбить на конечное число участков, каждый из которых лежит либо на границе множества , либо внутри него. Пусть оптимальная траектория полностью лежит на границе , а управляемая система автономна. Чтобы принадлежал границе, необходимо и достаточно, чтобы
,
т.е. вектор скорости должен быть перпендикулярен нормали к поверхности . - вектор размерности .
Введем в рассмотрение расширенный вектор , аналогично доказательству принципа максимума. Тогда задача Лагранжа принимает частный виз задачи Майера:
, , , ,
.
Получим необходимые условия оптимальности. Дадим оптимальному управлению игольчатую вариацию при . Вариация траектории при определяется из уравнения в приращениях
с начальным условием .
Связь вариаций и определим, продифференцировав уравнение :
.
Исключим из уравнения для вариации траектории. Умножим последнее уравнение на некоторую матрицу и прибавим к уравнению для вариации траектории:
.
Потребуем, чтобы матрица обеспечивала равенство
для всех .
Тогда .
Введем вектор , такой, чтобы
для всех .
Отсюда следует, что при
, .
Дифференцируя предпоследнее равенство по времени и учитывая выражение для производной , получим следующее уравнение для сопряженных множителей
.
Определив вектор согласно последним выражениям и введя функцию Гамильтона , получим для момента
.
Или .
Так как может быть любым из , то окончательно
|
для всех .
Каноническая система уравнений имеет вид
, ,
,
, .
Кроме того, должно выполняться условие .
Определим матрицу . По определению
.
Пусть и - составляющие вектора , такие, что имеет размеры , а - , а матрица - неособенная с размером . Вариации и связаны соотношениями
.
Поэтому компонентов , например, , можно считать свободными. Зададим , тогда
.
Следовательно, достаточно задать следующим образом
.
Таким образом, для рассматриваемой задачи необходимые условия оптимальности и имеют вид:
1. , ,
,
, ,
где , - вектор, составленный из любых компонентов вектора , таких, что матрица неособенная, - размерность вектора ;
2. для всех при условии ;
3. , если фиксировано,
, если свободно для всех .
Для исходной задачи Лагранжа необходимые условия оптимальности записываются также, но для нерасширенного вектора состояния при отсутствии условия и гамильтониана, имеющего вид: .
Можно получить обобщения на другие случаи, в частности, для неавтономной системы.
Получим условия стыковки участков оптимальной траектории. Предположим, что оптимальная траектория состоит из конечного числа участков, каждый из которых лежит либо внутри области , либо на ее границе . Имеет место следующее свойство оптимальной траектории. В классе кусочно-непрерывных управлений каждый участок оптимальной траектории является оптимальным в смысле общего критерия, рассматриваемого лишь на данном участке. Обозначив через минимальное значение функционала, а через минимальное значение функционала на -ом участке, можно утверждать, что .
В соответствии с этим свойством, на любом участке оптимальной траектории выполняются необходимые условия оптимальности. Определим условия, которым должна удовлетворять оптимальная траектория в точках стыка участков, т.е. при переходе от одного участка к другому. Рассмотрим переход от участка, лежащего внутри допустимой области на участок, лежащий на ее границе, т.е. отрезок времени , где - сколь угодно малая величина, а - момент входа оптимальной траектории на участок границы , описываемый уравнением , где - вектор-функция размерности .
|
Функционал на участке записывается следующим образом
.
Для рассматриваемого бесконечно малого участка оптимальной траектории составляется гамильтониан и выводятся соотношения, связывающие величины до момента и после него:
,
,
где - вектор размерности . Эти соотношения называются условиями скачка.
Таким образом, если оптимальная траектория существует и содержит конечное число точек стыка, то каждый участок, лежащий внутри допустимой области , удовлетворяет принципу максимума без ограничений на фазовый вектор, каждый участок, лежащий на границе, удовлетворяет принципу максимума с ограничениями на фазовый вектор, а в каждой точке стыка выполняются условия скачка гамильтониана и сопряженных переменных.
Связь принципа максимума
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!