Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-10-01 | 404 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
При решении задачи синтеза оптимального управления нелинейной динамической системой
, , ,
обеспечивающего минимум функционалу
,
часто оказывается возможным указать примерные (достаточно небольшие) области начальных и конечных условий , . В этом случае можно предложить следующий метод приближенного решения задачи. Выберем некоторые наиболее ожидаемые или желаемые точки и . Обозначим через оптимальную программу управления, обеспечивающую перевод из в . Траекторию , соответствующую этой программе, назовем невозмущенным, программным движением. Отклонения начального вектора от , а также неучтенные факторы приведут к отклонению траектории движения. Для математического описания возмущенного движения воспользуемся методом линеаризации. Представим , . Тогда получим уравнения движения в отклонениях
, ,
где , , т.е. матрицы и зависят от программного управления .
Желая приблизить действительное (возмущенное) движение к программному (невозмущенному), поставим задачу выбора такого закона управления , который позволял бы минимизировать некоторую меру возмущенного движения. В качестве такой меры можно принять, например, квадратичный критерий оптимальности
,
где матрицы и выбираются, исходя из анализа конкретных технических условий.
При наличии ограничений, накладываемых на вектор управления, задача может оказаться также очень сложной. Можно ее упростить, заменив критерий оптимальности
,
в котором подбирается так, чтобы удовлетворялось ограничение . Решение задачи для линейной системы с таким функционалом было получено ранее и имеет вид , причем, матрица зависит от . Таким образом, приближенное решение задачи синтеза для исходной системы может быть представлено в виде
|
.
Оптимальная программа управления и соответствующая траектория могут быть получены известными методами.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Теорема Кротова о достаточных условиях
Абсолютного минимума
В предыдущих разделах для решения задач оптимального управления использовались либо необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума, либо метод динамического программирования. Рассмотрим достаточные условия оптимальности, знание и проверка которых дает возможность окончательно ответить на вопрос, является ли управление, найденное тем или иным способом, действительно оптимальным.
Пусть на некотором множестве задан функционал , . Введем в рассмотрение множество , включающее , определив на нем функционал , так, чтобы при .
Лемма. Если элемент удовлетворяет условию
,
то имеет место соотношение
.
Доказательство леммы проводится методом от противного. Предположим, что имеется некоторый элемент , что . Но тогда , так как при , что противоречит условию.
Рассмотрим задачу
, , , ,
.
Обозначим через множество пар векторов , , через - множество , удовлетворяющих рассматриваемой динамической системе. Задача заключается в отыскании таких , которые обеспечивают абсолютный минимум функционалу .
Введем в рассмотрение функцию , непрерывную при всех и и обладающую непрерывными частными производными и для всех , кроме конечного числа точек. Построим функции
,
.
Теорема. Для того, чтобы функционал достигал абсолютного минимума на , достаточно существования такой функции , чтобы:
1) почти всюду на ,
2) .
Для доказательства теоремы используем лемму, ывбрав в качестве множество . Под будем понимать множество , не связанных исходными уравнениями и допускающих разрывы функции в конечном числе точек. Определим на функционал:
.
Можно показать, что на множестве функционалы и совпадают. Действительно, при
|
.
Подставляя в выражение для и учитывая, что непрерывны, получаем
.
Так как на множестве допускаются разрывы функции , то слагаемые можно рассматривать независимо один от другого. Поэтому
.
Если теперь предположить, что и выполняются условия 1 и 2 теоремы, то согласно последнему выражению достигает абсолютного минимума на , а в силу леммы функционал при этом достигает абсолютного минимума на .
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!